巧作輔助線解決與梯形相關的幾何問題

劉敏

【摘要】梯形包括一般梯形、直角梯形、等腰梯形，與它們相關的性質與判定是蘇科版初中數學八年級上冊的重要內容.由于梯形的特殊性，一般都可以將梯形分割成一個平行四邊形與一個三角形的形式，因此在證明與梯形相關的題目時，教師要引導學生巧作輔助線，以讓問題轉化到與三角形或者平行四邊形相關的認知中.

【關鍵詞】初中數學;巧作輔助線;梯形問題

作輔助線是解決幾何問題常用的一種方式，通過輔助線能將原先的問題進行轉化，進而促成問題的解決.輔助線可將圖形轉化為學生熟悉的圖形，以讓問題變得簡單;輔助線能讓問題中的條件進一步地往問題的結論靠攏，以讓問題的解決變得簡單.但是作輔助線卻是部分學生做題的難點，他們想不到要在題目與結論之間架設這樣的“橋梁”.

因此教師要引導學生將同一主題的題目進行分類，即，將輔助線分為不同的同類.學生看到類似的題目，就知道如何作輔助線，進而提升解題能力.

1 作與梯形的一個腰相平行的輔助線

在平常的做題中會出現這樣的現象，如果教師告訴學生這題要作一個怎樣的輔助線，他們就能將題目做出來.但是如果教師不給他們提示，他們往往就解決不了問題，可見輔助線對于學生解題的重要性.教師可讓學生將類似的梯形的問題進行分類，將需要作相同輔助線的題目放在一起.將同一類題目聚在一起，學生很容易對其形成感性的認識，進而促成問題的解決.同一類題目聚到一起，一道題目解決了，其他的題目也就能迎刃而解了.

比如當教師看到直角梯形時，可引導學生將其轉化為一個直角三角形與一個平行四邊形，即，作一個與梯形腰相平行的輔助線.

例1 如圖1所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥DC，AD=15，AB=16，BC=17. 求CD的長.

教師先是引導學生將出現的數據在圖形上標注出來.他們在標注的時候發現AD與CB的長是知道的，∠A是直角也是知道的，如果作一條平行于CB的輔助線，就能構成一個直角三角形，就能將要求結論轉化到直角三角中求解.

過點D作DE∥BC交AB于點E，

因為AB∥CD，

所以四邊形BCDE是平行四邊形，

進而推得DE=BC=17，CD=BE.

同時在在Rt△DAE中，由勾股定理，

得AE2=DE2-AD2，

即AE2=172-152=64，

進而求得AE=8.

因為BE=AB-AE=16-8=8，

所以CD=8.

學生對著結論發現解決這類問題時，其實就是將要求的線段通過作平行線轉化到另外一條中，進而求解.

教師可設這樣的題目以深化，在梯形ABCD中，如圖2所示，AB∥DC， DB平分∠ADC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，且∠C=2∠E.求證梯形ABCD是等腰梯形;若∠BDC=30°，AD=5，求CD的長.

對于第1問，學生從條件AE∥BD出發，就能證明∠BDC=∠E.

因為DB平分∠ADC，

進而得出∠ADC=2∠BDC.

同時因為∠C=2∠E，

得出∠ADC=∠C，

因此梯形ABCD是等腰梯形.

對于第1問的證明學生需要進行角與角之間的轉化.

對于第2問，學生就可以作BF∥AD交DC于F，則四邊形ADFB為平行四邊形，將相關的線段通過平行進行幻化.

學生由四邊形ABCD是等腰梯形，

得出AD=BC.BF=BC，

進而推斷出△BFC是等腰三角形，

CF=BF=AD.

再由DB平分∠ADC，

得出∠BDA=∠BDC.

同時因為AB∥DC，

所以∠ABD=∠BDC.∠ABD

=∠BDA.AD=AB=DF.

最后學生從AD=5，

得出DF=FC=5，

進而推出DC=10.

2 分別作與梯形的兩個腰相平行的兩條輔助線

作輔助線的方式是多樣的，因此教師要引導學生學會分析，以讓他們找到合適的輔助線.

對于梯形中的輔助線最主要的功能就是將其轉化，如果出現兩個底邊中點的情況，可以沿著上底的中線分別作兩條與腰相平行的輔助線，進而將問題轉入到一個新的三角形中.

例2 如圖3所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長.

學生拿到題目第一個想到的就是與梯形相關的問題要作輔助線.學生想到的第二個問題就是這題是不是要將所求的結論轉化到一個三角形中.學生想到第三個問題是∠B+∠C=90°，是不是暗示如果將這兩個角放到一個三角形中，那么另外一個角是不是就是直角，那么是不是運用直角三角形的有關性質就能解決剩下的問題.

過點E作AB、CD的平行線，與BC分別交于G，H，

由∠B+∠C=90°，得出∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，

進而推斷∠EGH+∠EHG=90°，

所以四邊形ABGE和四邊形CDEH都是平行四邊形，△EGH為直角三角形.

因為E、F分別是AD、BC的中點，

所以BG=CH=0.5，GH=2.

直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半，

因此EF為GH的一半，EF=1.

同樣地對著這題教師也可以對結論進行深化，讓學生再次體驗這類題目的作輔助線的方法.

教師問學生假如將題目改成，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°， E、F分別是AD、BC的中點，那么能不能用BC與AD的關系表示EF.換言之，教師將題目改得更抽象化了.

學生還是按照原先作輔助線的方式解題，

由E、F分別為上、下底的中點，

得出AE=DE，BF=CF，

進而他們得出FG=FH.

因此EF=12GH=12 （BC-BG-CH）=

12 （BC-AD）.

3 作與梯形的一條對角線相平行的輔助線

作與對角線相平行的輔助線也是為了將梯形進行分割，能讓要求的線段或者角能進行轉化.

例3如圖4，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，且∠C=2∠E.（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形;（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的長.

對于第1問，學生可先從AE∥BD出發，得出∠BDC=∠E;再從DB平分∠ADC這一條件得出∠ADC=2∠BDC;

又因為∠C=2∠E，

所以∠ADC=∠C，即梯形ABCD是等腰梯形.

對于第2問，作BF∥AD交DC于F，就能利用角與線段等條件將CD的長進行轉化.

作完輔助線，學生發現四邊形ADFB為平行四邊形，進而得出AD=BF，AB=DF.

同時因為∠BDC=30°，DB平分∠ADC，

所以∠ADC=60°.

加上BF∥AD，

學生推斷出∠BFC=∠ADC=60°;

進而得出四邊形ABCD是等腰梯形，

AD=BC，BF=BC，

△BFC是等腰三角形.

由等腰三角形這一結論，

學生又推斷出CF=BF=AD.

由DB平分∠ADC，

得出∠BDA=∠BDC;

由AB∥DC，

得出∠ABD=∠BDC，∠ABD

=∠BDA，AD=AB=DF;

由AD=5，

得出DF=FC=5，即DC=10.

從這題可以看出來，學生做出與對角線相平行的輔助線能將角平分線這一條件運用起來.同樣地教師可以創設這樣的題目深化學生對于作一個與對角線平行的輔助線的解法方法.

例4 如圖5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積.

依據題目，學生通過作輔助線構造直角三角形，解題的路徑就一目了然了.

4 結語

初中階段有關梯形的公式和定理都不是很難，但事實上學生在實際運用時卻是有一定困難的，主要是因為有關梯形的應用題型大多比較寬泛，條件給得少、圖形看上去簡單.看上去簡單，真正解題時就不一定了.

因此教師要指導學生靈活掌握輔助線的使用技巧，讓他們將現有的圖形轉變為新的圖形，進而構成新的關系.換言之，學生通過輔助線將分散的條件集中起來，使得教師設置的題目得以解決.

參考文獻：

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