淺談一類幾何最值的代數(shù)解法

馮俊 王芳

【摘要】 幾何的最值問(wèn)題牽涉面較廣，與平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱或中心對(duì)稱等幾何變換都有著較大的關(guān)聯(lián).本文就一類幾何最值問(wèn)題從簡(jiǎn)單的一條線段確定最值到多條線段之和取最值問(wèn)題進(jìn)行深入探究，發(fā)現(xiàn)代數(shù)法也是其解決途徑之一，多角度研究線段最值問(wèn)題并形成比較，從而為深層次理解數(shù)形結(jié)合奠定了基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】 最值問(wèn)題;幾何變換;代數(shù)法;數(shù)形結(jié)合

1 模型初探

在使用幾何方法難以處理問(wèn)題時(shí)可以直接使用代數(shù)的方法，即將所要求的的線段進(jìn)行代數(shù)化表示.若僅為一條線段，則可以表示為關(guān)于一條線段的一次函數(shù)或者二次函數(shù)等形式;利用函數(shù)的最值確定線段的最值.

比如：如圖1，已知AB=10，點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP，BP為邊作等邊三角形APC和等邊三角形BPD，試確定CD的最小值.

這一問(wèn)題采用代數(shù)的方式實(shí)質(zhì)是表示線段CD的長(zhǎng)度，可設(shè)PB=x，則AP=10-x;作DE⊥CP于點(diǎn)E.根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)得：

PE=12x，DE=32x;

于是CE=10-x-12x=10-32x，

那么CD=CE2+DE2

=10-32x2+32x2，

整理得CD=3（x-5）2+25，

所以x=5時(shí)，CD取得最小值5.

2 提出問(wèn)題

如圖2，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E，F(xiàn)為邊AC，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，連接BE，AF，則BE+AF的最小值為.

3 問(wèn)題解決

解法1 題目需要確定BE+AF的最小值，此時(shí)BE+AF是兩條相交線段，并且屬于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和.基本思想是利用“折轉(zhuǎn)直”的思想方法將BE，AF調(diào)至一條直線上.根據(jù)AE=CF這一條件，應(yīng)在AE處構(gòu)造直角三角形，使得AF可以轉(zhuǎn)換為EG，這樣BE+AF就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AE，且AG=AC，如圖3所示，連接EG.

易證△ACF≌△GAE，

于是EG=AF.

那么BE+AF=BE+EG≥BG，

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BA于點(diǎn)H，

因?yàn)锳C=BC=2，

所以GA=2，AB=2，

所以AH=GH=1.

則GB=GH2+HB2=10，

于是BE+AF的最小值為10.

這一方法的關(guān)鍵在于構(gòu)造△GAE，并且△GAE不是由△ACF經(jīng)過(guò)平移或者旋轉(zhuǎn)得來(lái)，這樣無(wú)形中增加了問(wèn)題的難度.同理在圖4中將BE轉(zhuǎn)換成FM也能處理問(wèn)題.

于是BE+AF=AF+FM≥AM.

解法2 如圖5，因?yàn)?/p>

AE=CF，

于是可設(shè)AE=CF=x，

所以CE=2-x，

所以AF=AC2+CF2

=2+x2，

所以BE=BC2+CE2=2+（2-x）2，

所以BE+AF=2+（2-x）2+2+x2.

不難發(fā)現(xiàn)，BE與AF均可以看成直角三角形的斜邊長(zhǎng)，于是構(gòu)造圖6，將AF，BE分別用斜邊A′P′以及斜邊D′P′表示，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，得

BE+AF=A′P′+P′D′≥A′D′，

過(guò)點(diǎn)D′作D′Q′⊥A′B′于點(diǎn)Q′，

所以A′D′=A′Q′2+D′Q′2

=22+（22）2

=10，

那么BE+AF的最小值為10.

代數(shù)法的解決實(shí)質(zhì)就是用運(yùn)算的方式表示線段的長(zhǎng)，若只確定一條線段的最值，一般可表示成關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的最值性可以獲得最值.若確定多條線段的最值，則會(huì)產(chǎn)生新的幾何問(wèn)題.此方法不需要理會(huì)原圖中如何進(jìn)行幾何變換才能將兩條線段進(jìn)行“折轉(zhuǎn)直”，這樣繞開(kāi)了進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ帶來(lái)的困擾.其原理表示為如圖7，

MN=a2+（c-x）2+b2+x2

≥（a+b）2+c2.

4 問(wèn)題拓展

拓展1 （等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為一般情形）：其他條件不變，AC=BC=a，則BE+AF的最小值為.

問(wèn)題解決：根據(jù)上述代數(shù)法的運(yùn)算過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)BE+AF=a2+（a-x）2+a2+x2，于是可以得到BE+AF≥（2a）2+a2=5a.

拓展2 （一般的直角三角形）：直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，E，F(xiàn)為邊AC，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，則BE+AF的最小值為.

問(wèn)題解決：依然假設(shè)AE=CF=x，則BE+AF=a2+（b-x）2+b2+x2;

于是可以得到BE+AF≥（a+b）2+b2.

拓展3 （兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別位于直角邊與斜邊）如圖8所示，直角三角形ABC中，BC=a，AC=b，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，求AF+CE的最小值.

問(wèn)題解決：假設(shè)AE=CF=x，

則AF=x2+b2;

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H.

因?yàn)椤螦HE=∠ACB=90°，

且∠HAE=∠CAB，

所以△AEH∽△ABC，

所以EHBC=AEAB=AHAC，

即EHa=xc=AHb;

其中c=a2+b2.

所以EH=acx，AH=bcx，

所以CE=HE2+CH2=acx2+b-bcx2，

化簡(jiǎn)得CE=a2c2x2+b2-2b·bcx+b2c2x2

=x2+b2-2b·bcx

=b2c-x2+a2b2c2，

所以AF+CE=b2+x2+b2c-x2+a2b2c2，

所以AF+CE≥abc+b2+b2c2

=b21+ac，

其中c=a2+b2.

5 方法應(yīng)用

如圖9所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，CD上運(yùn)動(dòng)，且AE=CF，連接BE，BF，那么BE+BF的最小值為.

解 過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，設(shè)AE=CF=x，

則△AGE∽△ABC，

于是AGAB=EGCB=AEAC，

將數(shù)值代入得

AG4=EG3=x5，

所以AG=45x，

EG=35x，

所以 BE+BF

=35x2+4-45x2+32+x2，

化簡(jiǎn)整理得

BE+BF=165-x2+14425+9+x2，

于是BE+BF≥125+32+1652=9855.