一元二次方程根的分布問題

朱德云

一元二次方程根的分布問題，是初中數學的一個難點，有些同學總感到難以下手.究其原因，主要是沒有掌握解決此類問題的方法.以下就從題目“若關于x的方程x2-2mx+m2-1=0的兩根都比1小，求m的取值范圍”來談談這類題的幾種解法.

1 求根法

解法1 原方程可化為

（x-m+1）（x-m-1）=0，

解得x1=m-1，x2=m+1.

因為原方程的兩根都比1小，

所以m-1<1，m+1<1.

解得m<0.

2 根的代換法

解法2 設y=x-1，則x=y+1.

將其代入已知方程中，得

（y+1）2-2m（y+1）+m2-1=0，

化簡為y2+2（1-m）y+m2-2m=0.

因為原方程的兩根都比1小，

所以關于y的方程有兩個負根.

所以Δ=[2（1-m）]2-4（m2-2m）≥0，y1+y2=-2（1-m）<0，y1y2=m2-2m>0，

解得m<0.

3 圖象法

解法3 設y=f（x）=x2-2mx+m2-1.根據題意可畫出如圖1所示的二次函數圖象的草圖.

根據函數的圖象，有

Δ=（-2m）2-4（m2-1）≥0，--2m2×1<1，f（1）=1-2m+m2-1>0，

解得m<0.

在以上三種解法中，以圖象法最為常用.

下面再看幾個圖象法解一元二次方程根的分布問題的例子.

例1 若方程x2+（m-1）x+4-m=0的兩根都比2大，則m的取值范圍是（）.

（A）m≤-6. （B）-6

（C）m<-3.（D）m<-6或-6

解 設y=f（x）=x2+（m-1）x+4-m.

根據題意可畫出如圖2所示的二次函數圖象的草圖.

根據函數的圖象，有

Δ=（m-1）2-4（4-m）≥0，-m-12×1>2，f（2）=4+2（m-1）+4-m>0，

解得-6

故應選（B）.

例2 已知b，c為整數，方程5x2+bx+c=0的兩根都大于-1且小于0，求b和c的值.

解 設y=f（x）=5x2+bx+c.

根據題意可畫出如圖3所示的二次函數圖象的草圖.

根據二次函數的圖象，有

Δ=b2-20c≥0，-1<-b2×5<0，f（-1）=5-b+c>0，f（0）=c>0，

即b2≥20c，0<b<10，b<5+c，c>0，①②③④

因為b，c 都是正整數，

所以由（1）得b≥25c，⑤

由②，⑤得25c<10，

所以c<5，

所以正整數c只能取1，2.

當c=1時，滿足條件①，②，③的正整數b=5.

當c=2時，不存在滿足條件①，②，③的正整數b.

故b=5，c=1.

例3 設關于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有兩個不相等的實數根x1，x2，且x1<1

（A）-27<a<25.（B）a>25.

（C）a<-27.（D）-211<a<0.

解 因為a≠0，

所以可將原方程化為x2+a+2ax+9=0.圖4

設y=f（x）

=x2+a+2ax+9.

根據題意可畫出如圖4所示的二次函數圖象的草圖.

根據函數的圖象，有

f（1）=12+a+2a·1+9<0.

解得-211

故應選（D）.

例4 方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0（k是常數）有兩實根α，β，且0<α<1，1<β<2.那么，k的取值范圍是（）

（A）-2

（B）3

（C）-2

（D）無解.

解 設y=f（x）

=7x2-（k+13）x+

k2-k-2.

根據題意可畫出如圖5所示的二次函數圖象的草圖.

根據函數的圖象，有

f（0）=k2-k-2>0，f（1）=7-（k+13）+k2-k-2<0，f（2）=28-2（k+13）+k2-k-2>0.

解得-2

故應選（A）.

例5 方程x2+（2m-1）x+（m-6）=0，有一根不大于-1，另一根不小于1.求m的取值范圍.

解 設y=f（x）=x2+（2m-1）x+（m-6）.

根據題意可畫出如圖6所示的二次函數圖象的草圖.

根據二次函數的圖象，有

f（-1）=1-（2m-1）+（m-6）≤0，f（1）=1+（2m-1）+（m-6）≤0.

解得-4≤m≤2.

利用二次函數圖象，解決一些二次方程的根的分布問題時，一定要考慮根所在范圍的端點的函數值，有些題還要考慮判別式和對稱軸（如兩根在同一范圍內的情形：引例、例1、例2），有些題則不要考慮判別式和對稱軸（如兩根分別在兩個給定的不同范圍的情形：例3、例4、例5）.