巧作輔助線

林明新

【摘要】初中數(shù)學(xué)中的幾何面積最值問題是學(xué)生經(jīng)常遇到的問題，在具體的解題中，教師可引導(dǎo)學(xué)生將遇到的問題朝著這兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化的過程中讓學(xué)生嘗試著添加一些輔助線、輔助圓，以讓問題得到解決，以讓能力得到發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);最值問題;作輔助線

1 作垂線，解決面積最值問題

求面積的最值是最值中常見的問題，學(xué)生首先要從面積公式入手展開思考.一般來說，題目中往往會(huì)存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)假如是三角形的高，依據(jù)點(diǎn)線之間，垂線段最短，就可獲得最值.因此解題時(shí)教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注相關(guān)三角形中需不需要作一條輔助線，以實(shí)現(xiàn)最值問題的轉(zhuǎn)化.

例1 如圖1所示，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接DE、點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′并延長交直線DE于點(diǎn)P，F(xiàn)是AC′的中點(diǎn)，連接DF.（1）求∠FDP的度數(shù).（2）連接BP，請(qǐng)用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（3）連接AC，若正方形的邊長為 2，請(qǐng)求出△ACC′的面積最大值.

顯然地，第1問與第2問都是為最值問題做鋪墊的.對(duì)于第一問學(xué)生只要證明∠CDE=∠C′DE和∠ADF=∠C′DF，就可推斷出∠FDP′=12∠ADC=45°.對(duì)于第2問，學(xué)生需要作一個(gè)輔助線，同時(shí)也為第3問的作輔助線進(jìn)行熱身.如圖2所示學(xué)生作AP′⊥AP交PD的延長線于P′，他們構(gòu)建出全等三角形，證明△BAP≌△DAP′（SAS），進(jìn)而得BP=DP′，從而得△PAP′是等腰直角三角形，可得結(jié)論BP+DP= 2AP.對(duì)于第3問，這題其實(shí)就是暗示學(xué)生先作高線，進(jìn)而根據(jù)高的大小確定面積的大小.在如圖3所示，學(xué)生過C′作C′G⊥AC于G，教師引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)C′在何處時(shí)，C′G最大？學(xué)生先是在Rt△ABC中，由AB=BC= 2，求得AC= （ 2）2+（ 2）2=2，進(jìn)而他們認(rèn)為AC為定值.同時(shí)他們觀察圖三發(fā)現(xiàn)，當(dāng)C′G最大值，△AC′C的面積最大，這是由面積公式?jīng)Q定的.因此學(xué)生連接BD，交AC于O.他們推斷出當(dāng)C′在BD上時(shí)，C′G最大，此時(shí)G與O重合.顯然地，由CD=C′D= 2，OD=12AC=1，他們推斷出C′G= 2-1，進(jìn)而得出，S△AC′C=12AC·C′G=12×2（ 2-1）= 2-1.可以清晰地看出來三角形面積的最值問題先是要引導(dǎo)學(xué)生假想一個(gè)點(diǎn)，進(jìn)而證明這個(gè)點(diǎn)與最長線段的端點(diǎn)重合.

2 作平行線，解決面積最值問題

同樣地，作平行線也能解決其中部分的面積最值問題.作平行線一般是將一個(gè)三角形分成幾個(gè)不同的部分，從已知線段的比，推斷出未知線段的比，進(jìn)而再推斷出相關(guān)三角形的高之比與面積之比.顯然地作平行線這樣的輔助線能將所求的最值面積中的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.因此教師需要引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的隱性條件，看是不是部分線段之間存在著一定的比，進(jìn)而通過平行線過度到對(duì)應(yīng)的面積之比.

例2 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且DB=2AD，AE=3EC，連接BE，CD，相交于點(diǎn)O，則△ABO面積最大值為多少？

教師先是要引導(dǎo)學(xué)生分析與△ABO相關(guān)聯(lián)的線段有哪些，從這些線段之間的等量關(guān)系能不能求出△ABO的面積與某個(gè)三角形面積之間的比例關(guān)系，進(jìn)而將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.他們從DB=2AD這一條件捕捉到從“D”出發(fā)作一個(gè)輔助線可以實(shí)現(xiàn)相關(guān)問題的轉(zhuǎn)化，因此他們過點(diǎn)D作DF∥AE，因而他們得出DFAE=BDBA=23，進(jìn)而也得出ECAE=13，即，DF=2EC，DO=2OC，DO=23DC.他們很順利地推斷出S△ADO=23S△ADC，S△BDO=23S△BDC，S△ABO=23S△ABC.學(xué)生遇到的第二個(gè)問題是如何求S△ABC的最值.教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步地從已知條件找尋信息，他們發(fā)現(xiàn)由已知條件∠ACB=90°，能作出這樣的推斷，C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，當(dāng)CG⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大.即，12×4×2=4，此時(shí)△ABO的面積最大為：23×4=83.

3 作輔助圓，解決面積最值問題

將圓與面積最值問題結(jié)合起來也是常見的解決最值問題的方法.但這樣的解題思路需要學(xué)生具備一定的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)認(rèn)知的能力，要能將不同章節(jié)的認(rèn)知基于某個(gè)核心問題聚焦在一起.顯然地圓中的垂徑定理，還有直徑是圓中最長線段都是用來轉(zhuǎn)化的重要路徑.

例3如圖5所示，△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°.求△ABC的面積的最大值？

教師可以引導(dǎo)學(xué)生像這樣的條件比較少的題目，作一個(gè)輔助圓試試，這樣就能將一些條件放在圓中去考慮.學(xué)生先是作△ABC的外接圓⊙O，過C作CM⊥AB于M，教師引導(dǎo)他們將原來的信息以圓的視角加以運(yùn)用.學(xué)生是這樣分析的，弦AB已確定，要使△ABC的面積最大，其實(shí)只要求CM取最大值就可以了.那么CM什么時(shí)候最大呢.學(xué)生做出這樣的輔助圓之后，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)CM過圓心O時(shí)，CM最大.他們從已知條件CM⊥AB出發(fā)，作CM過O，進(jìn)而由垂徑定理推斷出AM=BM，AC=BC.接著他們從∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°這一條件入手，得出OM=AM=12AB=12×6=3，OA= OM2+AM2=3 2，CM=OC+OM=3 2+3，進(jìn)而推斷出S△ABC=12AB·CM=12×6×（3 2+3）=9 2+9.

當(dāng)然借助輔助圓還可以求面積的最小值.如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為多少.

首先學(xué)生想到了求面積的通常地作輔助線的方法，他們連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N.他們從AC=CB，AM=OM，推斷出MC=12OB=1.教師引導(dǎo)學(xué)生在△CDE中哪一個(gè)是動(dòng)點(diǎn)，如何描述這個(gè)動(dòng)點(diǎn).學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、討論，他們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M上.設(shè)⊙M交MN于C′，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最小.可見對(duì)于作輔助圓來說，學(xué)生需要做好三個(gè)方面的思考，首先要能在心中形成一個(gè)圓的圖形;其次要能將最值放到圓的圖形中考慮，以讓問題得到轉(zhuǎn)化;再次要能將圓的認(rèn)知與三角形的認(rèn)知結(jié)合起來.