談談課本上的兩個三角函數公式

常自然

【摘要】正弦平方差公式是關于三角函數里的一個重要的二級結論，在解決三角函數問題時可以大大節約時間，起到事半功倍的作用，因而大受學生歡迎，又因其與平方差公式結構類似而得名.當三角函數條件中出現了關于兩個角的一個類似關系時，我們可以直接代入正弦平方差公式求解對應關系.

【關鍵詞】三角函數;初中數學;解題方法

sinα+βsinα-β=sin2α-sin2β .

上述公式在解決很多三角函數問題時，可以有效的減少運算難度，化繁為簡，好記好用，大大節約解題時間，因此應用頻繁，又因其結構與平方差公式非常相似，被稱為正弦平方差公式，本文給出其證法：

證法1 由正弦的和（差）公式及萬能公式，可得：

sinα+βsinα-β

=sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ

=sin2αcos2β-cos2αsin2β

=sin2α1-sin2β-1-sin2αsin2β

=sin2α-sin2β

證法2 由平方差公式及和差化積公式，倍角公式，可得

sin2α-sin2β

=sinα+sinβsinα-sinβ

=2sinα+β2cosα-β2·2cosα+β2sinα-β2

=2sinα+β2cosα+β2·2sinα-β2cosα-β2

=sinα+βsinα-β

例1 函數fx=sin22x+π12-sin22x-π12是（）

（1）周期為π2的偶函數

（2）周期為π2的奇函數

（3）周期為π的偶函數

（4）周期為π的奇函數

解 由正弦平方差公式，可得

fx=sin2x+π12+2x-π12·

sin2x+π12-2x-π12

=sin4xsinπ6=12sin4x

故選（B）

練習 求sin2712π-sin2112π=

解 sin2712π-sin2112π

=sin112π+712π·sin712π-112π

=sin23π·sinπ2=32.

練習 已知sinπ6+αsinπ6-α=18，α∈π16，π8，求tan2α的值.

解 由正弦平方差公式得

sinπ6+αsinπ6-α=sin2π6-sin2α=18sin2α=18

所以，cos2α=78.由α∈π16，π8，

有2α∈π8，π4，

從而tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα2cos2α-1

=2×18×782×78-1=73

本知識點在三角函數的化簡中有著廣泛的應用

小練（1）已知sin2x+π12-sin2x-π12=12，x∈0，π4，求tan2x

解：原式化簡為

sin22x+π12-sin22x-π12

=sin2x+π12+2x-π12

sin2x+π12-2x-π12

=sin4xsinπ6=12sin4x=12

可得，sin4x=1，又因為x∈0，π4，

所以4x=π2，x=π8，

所以tan2x=tanπ4=1.

小練（2）函數y=sin2x+π6+cos2x-π6的最大值為

解 由萬能公式及正弦平方差公式，原式可化簡為

y=sin2x+π6+cos2x-π6

=sin2x+π6+1-sin2x-π6

=sinx+π6+x-π6

sinx+π6-x-π6+1

=sin2x·sinπ3+1=32sin2x+1

所以，原式最大值為32+1.

例2 在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，則A的取值范圍是（）

（A）0，π6.（B）π6，π .

（C）0，π3.（D）π3，π.（2011年四川卷）

解 由公式②知，題設即

sinA+BsinA-B≤sinCsinC-sinB

sinB≤sinA+B-sinA-B，

sinB≤2cosAsinB，

cosA≥12=cosπ3，

所以0<A≤π3，選（C）.

練習 a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C所對的邊，滿足a2=bb+c，又已知A=100°，求C=（）

解 由正弦定理得，sin2A-sin2B=sinBsinC由正弦平方差公式及三角形內角和定理，原式可轉化為：

sinA+BsinA-B=sinBsinC得：

sinA-B=sinB>0其中A-B，B∈0，π

可得A-B=BA=2B或A-B+B=π（舍）.所以，B=50°，C=30°.

例3 在銳角ΔABC中，角A，B，C的對邊長分別是a，b，c.若a2+2abcosC=3b2，則

tanAtanBtanC+6tanA的最小值是.

解 由題設及余弦定理，得a2+（a2+b2-c2）=3b2，2（a2-b2）=c2.

再由正弦定理，得2sin2A-sin2B=sin2C

又由公式②，得

2sinA+BsinA-B=sin2C，

2sinA-B=sinC=sinA+B，

2sinAcosB-2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

sinAcosB=3cosAsinBcosAcosB≠0.

tanA=3tanB>0.

可設tanB=x（ x>0 ） .得tanA=3x.

由A+B+C=π，得tanC=-tanA+B=tanA+tanBtanAtanB-1=4x3x2-1，

所以 tanAtanBtanC+6tanA =3xx·4x3x2-1+63x=149x+5x ≥14·29x·5x=325 .

當且僅當9x=5x（x>0），即x=53，也即tanA=5，tanB=53，tanC=25時，等號成立.

練習 設a，b，c是三角形ABC的角A，B，C的對邊，已知c2=3a2-b2，且tanB=12，

求A的值.

解 由正弦定理，正弦平方差公式及三角形內角和定理，原式可化為

sin2C=3sin2A-sin2B

即sin2C=3sinA+B·sinA-B

整理得sinA+B=3sinA-BsinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB-3cosAsinB

即2sinAcosB=4cosAsinB

可得tanA=2tanB，又tanB=12，

所以tanA=1，A=π4.

例4 已知函數fx=x3-3x-1

（1）求證：函數fx的零點個數是3;

（2）設函數fx的三個零點從小到大依次是x1，x2，x3，求證：x23-x22=x3-x1.

證明 （1）由恒等式cos3θ=4cos2θ-3cosθ可以驗證：-2cos40°，-2cos80°，2cos20°

均是函數fx的零點.而三次函數fx的零點個數至多是3，所以所證結論成立.

（2）由（1）的解答，可得x1=-2cos400

=-2sin500，x2=-2cos80°=-2sin10°，

x3=2cos20°=2sin70°，

所以即證 2sin70°2--2sin10°2

=2sin70°+2sin50°

sin270°-sin210°=12sin70°+sin50°，

由公式②及和差化積公式，可得

sin270°-sin210°=sin70°+10°sin70°-10°

=32sin80°=sin60°cos10°

=12sin70°+sin50°.

所以所證結論成立.

例5 △ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，求A的大小.（2020年全國卷）

解 由正弦平方差公式sin2α-sin2β=sinα+βsinα-β及題設，可得

sinA+BsinA-B-sin2C=sinBsinC，sinA-B-sinA+B=sinB，

-2cosAsinB=sinB（sinB>0）cosA=-12（0<A<π），A=2π3.

例6在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別是a，b，c.已知A=π4，

bsinπ4+C-csinπ4+B=a

求證：B-C=π2.（2021年江西卷）

證明 由題設及正弦定理，得

sinBsinA+C-sinCsinA+B=sinA，sin2B-sin2C=sinA.

再由公式②，得sinB+CsinB-C=sinA=sinB+C，sinB-C=1

又B-C∈-π，π，所以B-C=π2.

例7 求函數y=2cosx+π4cosx-π4+3sin2x的值域.

解 y=2sinπ2+x+π4sinπ2-x-π4+3sin2x

=2sin3π4+xsin3π4-x+3sin2x

=2sin23π4-sin2x+3sin2x

=1-2sin2x+3sin2x

=3sin2x+cos2x

=2sin2x+π6.

所以，函數的值域為-2，2.

綜上所述可知，正弦平方差公式在三角函數問題中有著廣泛的應用，題型主要以利用正弦定理實現邊化角后結合三角形內角和定理應用的居多，因其可以大大的降低運算難度，節約解題時間，受到學生們的青睞，因此當三角函數條件中出現了關于兩個角的一個類似關系時，我們可以直接代入正弦平方差公式求解對應關系.同時，要根據不同的題型靈活的正用或逆用，達到最好的解題效果.