小題目中的大乾坤
——2021年八省聯(lián)考第7題的多角度思考

吳珍全

(江蘇省天一中學(xué),214101)

自新高考實(shí)施以來,全國各地的模擬題鋪天蓋地.如何在緊張的高三復(fù)習(xí)階段,跳出題海,進(jìn)行有效的課堂教學(xué),是每一位高三老師面臨的問題.本文以2021年八省聯(lián)考第7題為例，進(jìn)行多角度思考,供大家參考.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( )

(A)x+2y+1=0

(B)3x+6y+4=0

(C)2x+6y+3=0

(D)x+3y+2=0

二、解法探究

2x-(y1+y2)y+y1y2=0.

①

評(píng)注解法1思路較為常規(guī)直接,但運(yùn)算偏大;而解法2和解法3運(yùn)算量較小,運(yùn)算能得到簡化有下面兩個(gè)因素.

(1)由于拋物線方程中x,y的次數(shù)只有一個(gè)是二次的,所以設(shè)點(diǎn)時(shí)就可以用一個(gè)字母來表示拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo),這樣過拋物線上兩點(diǎn)的直線斜率只需用其縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))表示,將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))有關(guān).

(2)解法2充分利用AB,AC的對(duì)稱性,抽象出y1,y2是方程3y2+12y+8=0的兩根,再利用韋達(dá)定理得出y1+y2,y1y2從而求出直線BC的方程;解法3利用B,C兩點(diǎn)滿足相同形式的方程以及兩點(diǎn)確定一條直線就可求出直線BC的方程.

三、變式拓展

在上面的試題中,直線AB,AC和圓相切,而直線BC和圓相離,能否改變條件讓直線BC也和圓相切呢？

1.改變圓的半徑

例1已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC,BC是圓(x-2)2+y2=r2(r>0)的三條切線,求r的值.

②

評(píng)注(1)本題用的是上面的解法2,也可用解法3進(jìn)行求解；(2)圓心不變,改變圓的半徑,可使直線BC與圓相切.

2.改變圓心的位置

評(píng)注半徑不變,改變圓心的位置,也可使直線BC與圓相切.

3.改變拋物線的方程

如果給出拋物線的方程y2=x,直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線,就可以證明直線BC和圓相切……