發現解三角形問題中的代數特征培養學生的數學思維能力

姚鐘磊 胡波

摘要：本文通過一節示范課引導學生學會觀察邊角關系中的代數特征，并歸納其結構特點，培養學生的邏輯思維能力，落實邏輯推理和數學運算的數學素養.

關鍵詞：正余弦定理;代數特征;核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0072-03

1 問題提出

在近期的一次解三角形測試中發現得分率不高，同學們在熟記正、余弦定理的基礎上，對什么條件下使用掌握得還不太好.

數學教學不僅要關心學生的學習結果，還要關心學生的學習過程，有過程才能有結果.在數學的學習過程中掌握學習方法，促進數學思維方式的形成，學生在此過程中，從發現代數特征出發，親自經歷難點突破，歸納其代數結構特點，解決此類問題，并在此過程中，形成數學思維方式，培養學生邏輯推理和數學運算能力.

2 例題再現

例1在ΔABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若cosAcosB=ba=2，則該三角形的形狀是（）.

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形問題1請考慮用正弦定理還是余弦定理？

生1：因為題目里給出了cos A，所以用余弦定理，有

b2+c2-a22bca2+c2-b22ac=ba.

化簡，得（a2-b2）c2=（a2-b2）（a2+b2）.

故a2-b2=0或c2=a2+b2.

而ba=2，所以△ABC是直角三角形.

師：回答正確，用余弦定理進行化簡，對計算能力要求比較強高，那么用正弦定理行嗎？

生2：可以，因為cosAcosB=ba=2，

由正弦定理，得

cosAcosB=sinBsinA.

所以sinAcosA=sinBcosB.

即sin2A=sin2B.

由ba=2，可知a≠b，所以A≠B.

又A，B∈（0，π），所以2A=π-2B.

即A+B=π2.

所以C=π2.

故△ABC是直角三角形.

問題2比較兩個同學的處理方法，你選擇哪種方法，要是把條件中等式左邊的分母改為sin B，你會選擇哪種方法，為什么？

生3：第二種方法簡單，計算量小，我愿意用第二種方法，分母轉化為邊后有外接圓直徑2R，不能計算.

評析本題用兩個定理都能解決，用余弦定理是因為等式左邊是和余弦相關的一次式，可以將角余弦值間的關系轉化為邊的關系進行化簡，但是從過程來看，運算復雜了點.能用正弦定理把邊的關系轉換成角正弦值的關系，是由等式左邊的代數特征決定的，其左邊是和邊相關的一次式之比，可以把外接圓直徑2R都約掉，從運算過程看，變成了兩項乘積，項數少了，未知數也少了，運算簡捷了.

因此，本題雖然兩種方法都能處理，但是遇到問題不能立刻去做，要觀察其代數結構有什么特征，有無對稱性，未知數的個數如何等.這個過程就是具體數學思維方式的形成過程.

例2在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且b2+c2=a2+bc.若sinB·sinC=sin2A，則ΔABC的形狀是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

問題1請同學們考慮題目中兩個條件有什么樣的代數特征，該如何處理呢？

生1：因為b2+c2=a2+bc是一個二次齊次式，用余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.

又在ΔABC中，因為A∈（0，π），所以A=π3.

因為sinB·sinC=sin2A也是二次齊次式，可用正弦定理，所以bc=a2.后面就不會了.

問題2第一個條件得到角A=π3，第二個條件把“角”轉化成邊，出現了三個未知數，該怎么辦？

生2：由b2+c2=a2+bc，得（b-c）2=a2-bc=0，所以b=c，故△ABC的形狀是等邊三角形.故選C.

評析回答正確.在本題給出兩個式子的代數結構中，其未知數個數都是三個，其實第二個式子未知數只有兩個，因為三角形內角和是π，而且兩個式子都是二次齊次式，第二個式子只能用正弦定理轉化成邊的關系，這樣其未知數個數也是三個.通過消元的思想，我們知道三變量問題要轉化為雙變量問題，所以要和第一個式子聯立求解.

例3在△ABC中，內角A，B，C所對的邊a，b，c依次成等差數列，且B=π3，則△ABC的形狀為（）.

A.等邊三角形

B.直角邊不相等的直角三角形

C.等腰直角三角形

D.鈍角三角形

問題1本題條件a，b，c依次成等差數列有什么代數特征？

生1：因為a，b，c依次成等差數列，所以b=a+c2.

問題2用正弦定理還是余弦定理處理，為什么？

生2：因為B=π3，所以其余弦值可知.

由余弦定理，得cosB=a2+c2-b22ac=12.

將b=a+c2代入上式整理得（（a-c）2=0.

所以a=c.

又B=π3，所以ΔABC為等邊三角形.故選A.

問題3有沒有其它做法，正弦定理行嗎？

生3：由2b=a+c，得sinA+sinC=2sinB=3，而C=2π3-A，可以得到sin（A+π6）=1，故A=π3.

評析2b=a+c是一次齊次式，正是由于有這樣的代數結構，可以用正弦定理轉化為角，也可以結合已知角B，用余弦定理轉化為邊的關系.那么對于此類化簡問題主要從兩個角度考慮：（1）化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系.（2）化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，無論使用哪種方法，都和條件中蘊涵的代數結構有關，如果條件中有與邊相關的一次齊次式或者是與角正弦值相關的一次齊次式，可以考慮用正弦定理進行邊和角的轉化.如果條件具有邊的二次齊次式或角的余弦值，就考慮用余弦定理，實現邊和角的統一.

例4如圖1，在平面四邊形ABCD中，∠ACB與∠D互補，cos∠ACB=13，AC=BC=23，AB=4AD.圖1

（1）求AB的長;

（2）求sin∠ACD.

問題1請同學們把已知條件在圖中標出來，將線段AB放入哪個三角形，然后怎么處理？

生1：將線段AB放到ΔABC中，已知兩邊和夾角，所以直接用余弦定理，得

AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos∠ACB.

即AB2=（23）2+（23）2-2×23×23×13=16，所以AB=4.

問題2sin∠ACD放入哪個三角形中呢，該用正弦定理還是余弦定理？

生2：將其放到△ADC中，因為AB=4且AB=4AD，所以AD=1.

又因為∠ACB與∠D互補，所以cos∠D=

cos∠ACB=-13.已知角和對邊、鄰邊，所以由正弦定理得sin∠D=1-（-13）2=223.由正弦定理ACsin∠D=ADsin∠ACD，得sin∠ACD=69.

評析以平面幾何為載體的問題，一般有以下幾個方面：一要利用好平面幾何圖形的性質;二是出現多個三角形時，要從條件較多的三角形突破求解;三是四邊形問題要分割成三角形問題求解;四要善于用三角形的不等關系，從而確定角或邊的范圍.

3 總結與反思

一般地，解決數學問題離不開轉化思想，解三角形也不例外，從觀察方程的代數特征出發，將三變量轉化為雙變量.對同一數學問題觀察的角度不同，解決問題方法不同，若是關于邊和角余弦的一次齊次式，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理;若是式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用正弦定理，關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正弦、余弦定理及有關三角形的性質，常見的三角恒等變換方法都適用，化簡時還要考慮到“統一角的名稱，統一函數名稱，統一結構”.所以要用數學的思維方式去分析題目條件的結構特征，選擇適當的運算過程，培養學生觀察、分析問題的能力，形成數學的思維方式，落實邏輯推理和數學運算的核心素養.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[責任編輯：李璟]