一道有關向量求最值問題的探究

王春陽

摘要：本文對于一道向量題進行了思考，聯系幾何與代數給出解決問題的多種方法，從坐標系的角度將題目的模型簡化，深入研究了問題的本質.

關鍵詞：向量;化歸;最值問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0087-04

1 問題呈現、分析與解決

題目（淮安地區六校聯考2020級高一年級第五次學情調查）給定兩個長度為1的向量OA和OB，它們的夾角為120°，如圖1所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動.若OC=xOA+yOB（x，y∈R），則x+y的最大值為.

下面給出學生以及我的幾種做法.

方法1（猜）當C為弧AB的中點時，x+y取得最大值，作簡單計算可知，此時的x+y=2.

我相信肯定有人質疑這種做法不夠嚴謹，但是其實這種猜的做法是有依據可尋的.我們分析題目條件OC=xOA+yOB，

對于線段OA和OB，從線段長度的角度來講沒有本質的區別;從位置的角度來講，由于此圓弧是對稱的，所以線段OA和OB也沒有本質上的區別，也就是點A，B的位置可以互換.（如果只從長度的角度來看，這樣的“猜”法顯然是行不通的，如圖2，顯然當點C運動到點D附近時x+y達到最大值，而點D位置可以隨意設置.）繼續來觀察x，y，如果對換x，y，題目的條件是沒有本質變化的，而式子x+y，究其本身是一個對稱輪換式并且變量取值范圍相同，我們聯系均值不等式中相類似的結構，一般來說都是當變量取得相等時x+y取得最大或者最小值.

注對于上面的“猜”法并不是所有情況都可以使用.

方法2（消元）

如圖3，連接AB，連接OC交AB于點D，設OD=tOC，則t∈[12，1] .故

OC=1tOD.

代入OC=xOA+yOB，

得OC=

1tOD=xOA+yOB.

從而OD=txOA+tyOB.

又A，D，B三點共線，所以tx+ty=1.

故x+y=

1t∈[1，2].

所以x+y的最大值為2.

注1從代數角度看，這種方法巧妙地將含有兩個變量的式子變成只有一個變量，這要歸功于x+y中，x，y前面的系數相同，那如果它們前面的系數不同，其他所給條件不變，此法是否還適用？

注2從幾何角度看，只需要找到圓弧上到直線AB距離最遠的點即可，同樣的，對于x+y中x，y前面的系數不同，其他所給條件不變，是否還是尋找圓弧上距離直線最遠的點？

方法3（利用等和線）

如圖3，A，D，B三點共線，故

OD=λOA+（1-λ）OB（0≤λ<1），平行于AB的直線A′B′交

AB于點C′，此時OD′=λOA+（1-λ）OB.設OAOA′=OBOB′=1μ（μ>1），那么OC′=μ[λOA+（1-λ）OB].所以x+y=μ[λ+（1-λ）]=μ.所以當直線A′B′與AB相切時，x+y達到最大值2.

注等和線其實就是利用向量三點共線定理，方法2從代數角度，最后的結果注重參數的范圍，從幾何角度，最后的結果與點到直線的距離有關.而方法3最后的結果與OAOA′的比值有關.

方法4（建系）

如圖4，以O為原點，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，那么A（1，0），B（-12，32）.設C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π3]，代入已知條件OC=xOA+yOB，得（cosθ，sinθ）=x（1，0）+y（-12，32）.

圖4即x-12y=cosθ，

32y=sinθ.

解得x=cosθ+13sinθ，

y=23sinθ.

則x+y=cosθ+13sinθ+23sinθ=2sin（θ+π6）.

又θ∈[0，2π3]，故當θ=π3時，x+y取得最大值2.

方法5考慮到條件OC=xOA+yOB，又

|OA|=|OB|=|OC|=1，那么對此式作平方處理得

1=x2+y2-xy=（x+y）2-3xy.

從而（x+y）2=1+3xy.

又1=x2+y2-xy≥xy（當且僅當x=y時取等號），從而（x+y）2=1+3xy≤4.

故x+y的最大值為2，此時x=y=1.

2 問題的延伸

我們對條件中的系數做變化，題目變為：

給定兩個長度為1的向量OA和OB，它們的夾角為120°，OB′=32OB，如圖5所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動.若OC=xOA+32yOB=xOA+yOB′（x，y∈R），則x+y的最大值為.

如果我們用猜的方式來看這道題，是不能很明顯地猜出來，那么這種方法就有很大的局限性.下面用剩下的幾種方法試一下.

方法2連接AB′交OC于點D，設OD=tOC，由于t的范圍不易看出，我們暫時先不求.

知OC=

xOA+yOB′，

那么

OC=1tOD=xOA+yOB′.

即OD=txOA+tyOB′.

又A，D，B′三點共線，所以tx+ty=1，即x+y=1t.

那么由此我們只需要求出t的范圍即可，下面求t的范圍.

知OC的長為1，那么其實只要求OD長度的范圍即可，很顯然OD的最大值為32，OD取最小值時，OD⊥AB′，下面求最小值.

知OB′=32，且OA=1，∠BOA=2π3，利用建系法可知點的坐標位置，故tanα=

337

，sinα=

33219.

又OA=1，所以OD=

33219.所以OD的最小值為33219.

所以x+y=1t的最大值為21933.

方法3直接利用等和線，如圖5，l是平行于AB′的直線，且與AB有交點，利用等和線，當直線l與AB相切時x+y達到最大，當直線l過點B時，x+y達到最小.以O為原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，可得A（1，0），B（-12，32），B′

（-34，334）.

那么直線l的方程為33x+7y-7k=0.利用直線到圓心O的距離為1，可得

|7k|（33）2+72=1.

從而k=2197（負的舍去）.從而直線l的方程為y=-

337x+2197.

令y=0，可得A′（21933，0）.

所以OA′OA=21933.

從而x+y的最大值為21933.

方法4知

OC=xOA+yOB′，則兩邊平方可得

1=x2+94y2+2xy·32·（-12）

=（x-34y）2+2716y2.

令x-34y=z，則x=34y+z，即z2+2716y2=1.

所以x+y=z+74y.

由柯西不等式可得

（z2+2716y2）[12+（4927）2]=7627≥（z+74y）2（當且僅當z2=2728y2時成立）.

從而z+74y≤

21933.

故x+y的最大值為21933.

當然此題也可以在問題上做文章，比如題目變為：給定兩個長度為1的

OA和OB，它們的夾角為120°，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動.若OC=xOA+yOB（x，y，∈R），則x+23y的最大值為.

如果我們對題目條件和問題中y前系數都進行改變，例如題目改為：給定兩個長度為1的

OA和OB，它們的夾角為120°，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動.

若OC=xOA+4yOB（x，y∈R），則x+8y的最大值為.

由此例我們可以推廣：當改變條件和問題中同一變量前的系數時，問題可以化歸到只改變條件或問題的此變量前的系數.那么我們可以類比，如果同時改變條件和問題中兩個變量前的參數時，例如：

若

OC=k1xOA+k2yOB，l1x+l2y（x，y∈R，ki，li∈R+，i=1，2），那么上式可以化歸為

OC′=tOA+

zOB，l1k1t+

l2k2z（t=k1x，z=k2y），或者

OC=k1l1

tOA+l2k2zOB，

l1k1t+l2k2z（t=l1x，z=l2y）.

至此，無論如何改變題目條件

OC=xOA+4yOB（x，y∈R）

或是問題x+y中的條件，都可以化歸為

OC=xOA+4yOB（k∈R）.

那么如果改變題目中其他我們沒有涉及的條件呢？

3 問題本質的探究（數學模型的簡化）

在研究了改變條件即前系數幾種方法的可行性之后，我們來研究題目本身，從建系的角度去分析題目，如圖6，

我們將OA，OB隱藏，那么你會發現圖中只剩下一段120°的圓弧，以及動點C，定點O，那么我們可以進一步將題目模型簡化為：一段函數（兩個端點），函數上一動點，以及函數圖象外一點（定點或是動點）.我們先從最簡單的模型開始，假設認為函數圖象外一點為定點，此定點設為二維空間xOy中的原點，即點O，至于這一段函數，我們主要研究高中初等函數，函數的兩個端點記為A，B.

題目變為：設f（t）=，t∈[2，4]，函數兩端點為A，B，C為f（t）上的動點，OC=xOA+yOB（x，y∈R），則x+y的最大值為.

（1）如果函數f（t）是一次函數，且此函數不過原點，那么x+y為定值1.

（2）如果函數f（t）為二次函數，設f（t）=t2，C（t，t2），t∈[2，4]，則OC=（t，t2）=

xOA+yOB=

x（2，4）+y（4，16）=（2x+4y，4x+16y）.

從而x+y=-18（t-3）2+98，

則當t=3時，x+y取得最大值98.

（3）如果函數f（t）為指數函數，設f（t）=ex，

則x+y=4et-te44e2-2e4+e2t-2et4e2-2e4=2et-（e4-e2）t4e2-2e4.

那么求x+y的最大值就是求2et-（e4-e2）t4e2-2e4的最大值，其中t∈[2，4]，具體過程這里不再探究.

（4）考慮函數的一般情況，函數f（t）為初等函數，t∈[a，b]，函數兩端點為A，B，C為f（t）上的動點，

OC=xOA+yOB（x，y∈R），則x+y

的最大值為.

（5）考慮整體一般情況，函數圖象外一點為動點，記為O1，設O1（t0，0），t0∈[a，b]，函數f（t）為初等函數，t∈[a，b]，函數兩端點為A，B，C為f（t）上的動點，

O1C=xO1A+yO1B（x，y∈R），則x+y的最大值為.

對于數學問題的解決，如同剝洋蔥一樣，一層層地接近蔥芯，慢慢地接近問題的本質，對于上面問題的探討過程，我們從題目本身引申出很多解決問題的方法，從方法中找到一些方法的局限性和復雜程度，由此引發了我們對問題的延伸，引發我們改變題目中的條件或是問題，會對之前的方法有著怎樣影響的思考，從中我們學習到了化歸的思想，不僅僅是化歸算式，而且還化歸了題目.在此基礎上，又引發了我們對題目本身的探討，簡化了題目的數學模型，拓廣到一般情況，找到了題目的本質，至此我們對整個題目的看法有了質的飛躍.

參考文獻：

[1]?劉初喜，施洪亮，蔡東山.華東師范大學第二附屬中學（實驗班用）數學[M].上海：上海教育出版社，2012.

[2] 董裕華.減負增效學數學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

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