追溯“源頭” 撥開云霧見“真身”

摘要：本文以書本幾道典型習(xí)題為“源頭”，撥開云霧去看看考試中那些題目的“真身”，望有助于學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中能有效地處理此類問題.

關(guān)鍵詞：圓;直線;位置關(guān)系;最值問題

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0084-03

收稿日期：2022-03-05

作者簡介：陳龍（1989.10-），男，湖北省武漢人，碩士，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

源題1已知圓C：（x-4）2+（y-3）2=25，求過點(diǎn)M（2，1）的直線l被圓C截得的最短弦長和最長弦長.

解析因?yàn)椋?-4）2+（1-3）2=8<25，

所以點(diǎn)M在圓C內(nèi).

當(dāng)弦繞著點(diǎn)M轉(zhuǎn)動時(shí)，如圖1，最長弦即過點(diǎn)M的直徑

AB，長為10;最短弦則為與CM垂直的弦CD，長為217.

點(diǎn)評此題目屬于考查直線與圓相交時(shí)弦長的最值問題，可以借助弦長公式：L=2R2-d2（其中L為弦長，R為圓的半徑，d為圓心到直線的距離）很容易知道d最小時(shí)L最大，d最大時(shí)L最小.

變式已知C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，求直線l被圓C截得的弦長的最大值和最小值.

解析我們注意到直線l恒過定點(diǎn)M（3，1）且點(diǎn)M在圓C內(nèi)部，則后面的做法就如上題一致.最長弦為過點(diǎn)M的直徑，長為10，最短弦為45.

源題2已知點(diǎn)P（x，y）是圓C：（x-3）2+（y-3）2=4任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：2x+y+6=0距離的最大值和最小值.圖2

解析由題知圓心C（3，3）到直線l距離d=35>R，則直線l與圓C相離.

如圖2，易知點(diǎn)P1到直線l距離最小為d-R=35-2;

點(diǎn)P2到直線l距離最大為d+R=35+2.

點(diǎn)評此題屬于考查直線與圓相離時(shí)圓上點(diǎn)到直線距離的最值問題.最大值為d+R，最小值為d-r.

變式1由直線l：y=x+1上的一動點(diǎn)P向圓C：（x-3）2+y2=1引切線切于點(diǎn)D，求切線PD長的最小值.

解析由圖3易知直線與圓相離，且PD2=PC2-R2，只有當(dāng)PC長最小值時(shí)切線PD長才取得最小值，此時(shí)又回到我們熟悉的問題，即PC長的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離d=22.

所以此時(shí)切線PD長的最小值為7.圖3圖4

變式2已知點(diǎn)P為直線y=x+1上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，求cos∠APB的最小值.

解析由圖4知cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC，

而sin∠APC=RPC=1PC，要想cos∠APB

最小，sin∠APC要最大，即PC最小的時(shí)候.

此問題就迎刃而解了，又回到“源題2”中的問題，PC長的最小值為22，所以cos∠APB最小值為34.

源題3已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-4x+1=0.

（1）求m=yx的最大值和最小值;

（2）求n=y-x的最大值和最小值;

（3）求t=x2+y2的最大值和最小值.

解析（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）滿足圓C：（x-2）2+y2=3方程，即點(diǎn)P在圓C上.

將m=yx=y-0x-0視為點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)O（x，y）連線的斜率，如圖5，最大值為kOP1=3，

最小值為kOP2=-3.

（注：利用點(diǎn)C到直線y=kx距離等于半徑求出相切時(shí)的k值）圖5圖6

（2）要求n=y-x的最值即視為我們熟悉的線性規(guī)劃問

題，即直線l：y=x+n的縱截距的最值，如圖6，當(dāng)直線l1與直線l重合時(shí)，n取最大值6-2

;當(dāng)直線l與直線l2重合時(shí)，n取最小值-6-2.（注：用圓心到直線l：y=x+n

距離等于半徑求出相切時(shí)n的值）

（3）t=x2+y2=（（x-0）2+（y-0）2）2可視為點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)O（0，0）距離的平方，如圖7，t的最小值為OP21=（OC-R）2=7-43，最大值為OP22=7+43.

點(diǎn)評此類題屬于考查直線與圓相切時(shí)相關(guān)的最值問題.處理時(shí)要考慮所求式子的幾何意義.

變式1實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x+1）2+y2=14，試求μ=x2+y2-4x-6y的最小值和最大值.

解析M+13=（x-2）2+（y-3）2可視為點(diǎn)P（x，y）和點(diǎn)A（2，3）距離的平方，即M=PA2-13，故最大值為

214+32，最小值為214-32.

變式2若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+2x-4y=0，求x-2y的最大值.

解析（x+1）2+（y-2）2=5，令x=-1+5cosθy=2+5sinθ（θ∈R），

則x-2y=-5+5cosθ-25sinθ=5cos（θ+φ）-5（其中cosφ=55，sinφ=255）.

所以當(dāng)cos（θ+φ）=1時(shí)，（x-2y）max=5-5=0.故x-2y的最大值為0.

點(diǎn)評本題是典型的用圓的參數(shù)方程解決的題型，利用圓的參數(shù)方程將所求式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，利用輔助角公式即得最大值，此法在后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習(xí)中會有所推廣.

變式3 平面上有兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P為圓x2+y2-6x-8y+21=0上的一點(diǎn)，試求S=|AP|2+|BP|2最小值.

解析把已知圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得

（x-3）2+（y-4）2=4.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則

S=|AP|2+|BP|2

=（x0+1）2+y20+（x0-1）2+y20

=2（x20+y20+1）

=2（OP2+1）.

要使S=|AP|2+|BP|2最小，需|OP|最小，即使圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小.

容易知道|OP|min=OC-r=5-2=3.

所以Smin=2（32+1）=20.

點(diǎn)評設(shè)P（x，y），使要求的式子轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離問題，利用數(shù)形結(jié)合法求最值，實(shí)質(zhì)上是利用初中學(xué)過的“連接兩點(diǎn)的線段中，直線段最短”這一性質(zhì).

變式4過直線y=1上一點(diǎn)P（x，y）作圓（x+1）2+（y+1）2=1的切線，求切線長的最小值.

解析切線長PM=PC2-CM2=PC2-1，所以要求PM的最小值，只需求PC的最小值.

PC是直線上一點(diǎn)到圓心的距離，由于經(jīng)直線外一點(diǎn)所引直線的垂線段的長度是該點(diǎn)到直線的距離的最小值，所以當(dāng)PC垂直于直線時(shí)，PCmin=2，此時(shí)，切線長最小為3.

以上列舉了幾道“源題”和若干變式題目，說明了一些看似復(fù)雜的題目的真身依然是我們熟悉的知識點(diǎn).

圓的知識在初中與高中都要學(xué)習(xí)，是一典型的知識交匯點(diǎn).現(xiàn)在的數(shù)學(xué)高考非常重視初高中知識的銜接問題，所以同學(xué)們在處理與圓有關(guān)的小題時(shí)，一定要數(shù)形結(jié)合，多聯(lián)想一下與之有關(guān)的平面幾何知識，以免“小題大作”.由于圓的對稱性，在與圓有關(guān)的最值問題中，應(yīng)把握兩個“思想”：幾何思想和代數(shù)思想.所謂幾何思想，即利用圓心，將最值問題轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的問題.所謂代數(shù)思想，即利用圓的參數(shù)方程.同時(shí)，由于最值問題從代數(shù)意義上講和函數(shù)的最值聯(lián)系緊密，因此在解題過程中靈活地應(yīng)用函數(shù)、不等式等代數(shù)思想使問題代數(shù)化、簡單化也是需要注意的.

參考文獻(xiàn)：

[1]?趙志巖.高考中與圓相關(guān)的最值問題＼[J＼].數(shù)理化解題研究，2018（10）：2-4.

[2] 曹方圓.基于核心素養(yǎng)指向有效教學(xué)——以“與圓相關(guān)的“最值問題”為例＼[J＼].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2019，38（06）：22-25.

[責(zé)任編輯：李璟]