基于GeoGebra平臺在數學教學中滲透數學核心素養

張科研

【摘要】 數學學習是培養學生核心素養的有效途徑.在高中函數主線（主要包含函數以及數列）的教學中融合信息技術（運用GeoGebra）展開教學，有利于激發高中生的學習興趣，優化他們的知識結構，培養他們的創新能力，進一步發展學生的核心素養.

【關鍵詞】核心素養;高中函數;教學設計;GeoGebra

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性.[1]運用GeoGebra輔助高中函數教學有利于培養學生的核心素養.筆者結合GeoGebra軟件研究如何在高中函數教學中滲透核心素養.

一、GeoGebra軟件平臺

GeoGebra即代數與幾何，顧名思義，其具有同時處理代數運算和幾何作圖的能力.GeoGebra最早是由一位年青的奧地利數學家設計的一款開放源代碼的動態幾何軟件.此軟件平臺可以幫助學生走進以模型為中心的數學學習.某種程度上，我們可以認為GeoGebra是認知工具，是數學變革的工具.

GeoGebra平臺的特點如下：

（1）操作簡單，簡單易學;

（2）數形結合，同步變化;

（3）功能強大，快速展示;

（4）交流方便，師生共學;

（5）源碼開放，資源共享.

二、函數的地位與作用

自變量數學產生以來，函數一直處于教學的核心地位，德國數學家克萊茵稱函數為數學的靈魂.[2]

實際上，在初中階段學生已經初步研究了函數概念、函數表示法和函數圖像的繪制.升入高中，學生再次走近函數，從新的角度“重塑”函數概念，就是利用集合與對應的思想來深入理解函數的定義.這符合知識發展的螺旋上升和嚴謹性原則，有利于加深學生對函數概念的理解.

函數是整個高中數學的核心內容.研究函數的本質有利于學生實現從整體、動態、具體的多角度來把握函數.

三、基于GeoGebra平臺在高中函數教學中滲透核心素養

時代在不斷發展，科技在不斷進步，要求我們必須將信息技術與數學課堂教學進行整合，以信息化帶動教育現代化，發揮信息技術的優勢，優化課堂教學，培養學生的核心素養.

隨著教育信息化2.0行動計劃的推進，數學課堂教學深度融合軟件GeoGebra發展，信息技術又一次成為研究和認識函數的強有力工具.

GeoGebra是計算工具，是教學工具，是認知工具，是數學教學變革工具.[3]我們不難發現，軟件GeoGebra可以為學生營造出一種多元的數學情境.在這樣的智能交互平臺上，學生可以打破傳統函數學習的界限，從抽象到具體，從靜態到動態，從有限到無限，從局部到整體等，多方面、全方位地觀察對象.這樣做的目的是促進學生對知識定義的理解，掌握概念的本質屬性，最終讓學生真正獲得函數本質.

基于高中生的認知水平，教師可提前布置任務：小組自行組織，然后小組合作，收集有關計算機軟件GeoGebra的資料，并學習一些簡單的操作.

在實際教學中，教師可以嘗試讓學生參與問題的探究實驗，親身感受問題解決的過程.在這個過程中，學生良好的創新精神能夠得到培養，從而促進核心素養的形成.

（一）在函數概念的教學設計中滲透

1.輔助情境教學，發散學生的思維，滲透核心素養

在具體的情境教學中運用GeoGebra平臺，如圖1所示.

2.輔助概念完善，發展學生的抽象思維，滲透核心素養

運用GeoGebra繪制函數圖像，強化學生對概念的理解.

具體操作如下：

（1）首先找到按鈕“視圖”，然后右鍵下拉菜單中找到“指令欄”，打開繪圖區和代數區.輸入y=-ax3+8x2+4x-1后通過滑桿參數工具創建一個動態參數a（-5≤a≤5），繪制出函數圖像，并且在x軸上任取一點A，畫出當x=b時，對應函數圖像上的點B;

（2）再過點B向y軸作垂線，垂足為點C，鼠標左擊點A并在x軸上左右拖動，此時點C在y軸上顯示的蹤跡就是對應函數圖像上點B在y軸上的投影，可觀察到函數的自變量變化以及對應的函數值的變化.

如圖2所示.

我們可以利用滑桿參數工具a的改變再次體會函數概念，讓學生更加清晰地認識到：（1）函數的定義域就是A所構成的集合，值域就是C所構成的集合;（2）當定義域發生變化時，值域也隨之發生變化，即每一個x都對應著唯一確定的函數值.

教師使用GeoGebra軟件將函數概念的抽象性以動態、直觀的方式展現出來，可以讓小組同學動手嘗試設置函數進行操作演練，提升核心素養.

3.輔助概念辨析，發展學生的批判思維，滲透核心素養

對于習題：深刻理解函數相等的含義，并判斷下列哪個函數與函數y=x相等.

f=x2; f（x）=（x）2; u=3v3;m=n2n.

運用GeoGebra繪制函數圖像并求函數值，具體操作如下：首先找到按鈕“視圖”，然后右鍵下拉菜單中找到“指令欄”，打開繪圖區和代數區，在指令欄中輸入函數表達式即可.

要求：（1）學生可以自主完成，對于比較簡單的函數，如y=x，直接輸入“f（x）=x”，然后按回車鍵，即可繪制出函數圖像（如圖3）;

（2）對于比較復雜的函數，如f（x）=x2，

我們要借助內置的基本函數——算術平方根函數，即“sqrt（x）”，可以直接輸入“f（x）=sqrt（x2）”，然后按回車鍵，即可繪制出函數圖像（如圖4）;

（3）對于可以復合的函數，我們可以進行如下操作：首先在指令欄輸入兩個函數f（x），g（x），然后在指令欄中再輸入h（x）=g（f（x）），就可以得到對應的函數圖像.

比如，f（x）=x，g（x）=x2，然后在指令欄中再輸入h（x）=g（f（x）），就可以得到f（x）=（x）2.

分析兩個函數是否相等，始終要堅持“一個中心、兩個基本點”，這里“對應關系”為中心，“定義域和值域”為基本點.讓學生明確：對于函數y=f（x），x∈A，函數u=g（v），v∈C，只有A=C，x0∈A，都有f（x0）=g（x0）成立，我們才可以說這兩個函數是相等的.

（二）在函數單調性的教學設計中滲透

函數單調性反映函數的“局部性質”.通過引入必要的數學符號語言使定性刻畫上升到定量刻畫，能夠實現變化規律的精確化表達.這樣一種從形象直觀到定性刻畫再到抽象的符號語言刻畫的研究過程，以及通過引入數學符號、借助代數語言精確定量地刻畫變化規律的方法，體現了數學抽象的一般過程，對于培養學生的思維能力甚至核心素養都具有重要意義.運用GeoGebra繪制函數圖像，可以感受函數的性質——單調性，如圖4所示.

（三）在冪函數概念的教學設計中滲透

以一些簡單的實際問題中涉及的函數為背景，讓學生理解一類具體函數（冪函數）的研究內容和方法.在研究過程中融合信息技術，運用軟件GeoGebra輔助學生進一步體會如何在一般函數的概念及基本性質的指導下展開研究.

1.運用GeoGebra軟件繪制五種常見的冪函數

GeoGebra軟件功能強大，能實現數形的完美轉換.通過軟件GeoGebra，學生不難發現五個函數的特點，并能發現它們的共性特征.

2.運用GeoGebra軟件深度拓展探究冪函數

比如，先制作一個動態滑桿a，范圍是[0，5]，然后在指令欄中輸入，按下回車鍵，就可以繪制冪函數圖像，如圖5所示.

（四）在指數函數、對數函數圖像和性質的教學設計中滲透

1.在研究指數函數的性質時，為了幫助學生清楚理解底數對指數函數性質的影響，在同一直角坐標系下分別獲得多個函數，總結歸納出一般情況下指數函數的特征.

任務：可以嘗試讓學生自行操作，通過改變底數，觀察指數函數圖像中的“變”與“不變”.

先制作一個動態滑桿a，范圍是[0.001，5]（a≠1），然后在指令欄中輸入，按下回車鍵，就可以繪制出指數函數圖像，如圖6所示.

2.類比指數函數，在研究對數函數的性質時，為了幫助學生理解底數對對數函數性質的影響，在同一直角坐標系下分別獲得多個函數，總結歸納出一般特征.

任務：嘗試讓學生自行操作，通過改變底數，觀察對數函數圖像中的“變”與“不變”.

先制作一個動態滑桿a，范圍是[0.002，5]（a≠1），然后在指令欄中輸入，按下回車鍵，就可以繪制出對數函數圖像，如圖7所示.

（五）在正弦、余弦函數圖像的教學設計中滲透

新課程改革以后，三角函數出現在現有高中必修教材中，體現了函數家族的“龐大”.正弦、余弦函數圖像依舊是教學的重點和難點.

正弦、余弦函數的圖像如圖8所示.

（六）在數列通項公式的教學設計中滲透

數列是一種特殊的函數.把數列的學習與研究置于函數的大背景下，不僅可以利用函數的視角、思想方法來探究數列、促進對數列知識的理解和學習，而且能深化對函數的認識.在教學中，要讓學生體驗用不同的方法表示具體數列，鞏固對通項公式的理解.依托信息技術軟件GeoGebra，學生嘗試體驗、交流、分享，進而對數列產生濃厚的興趣，這樣學生就自然而然地理解為什么數列是“特殊”的函數.

例1 根據下面數列的通項公式，寫出數列的前5項，并畫出它們的圖像.

（1）an=n2+n2;（2）an=cos（n-1）π2.

引導學生運用GeoGebra軟件深入了解數列，并學會把握數列與函數的聯系.題（2）的圖像如圖9所示.

四、結 語

核心素養的培育絕非一朝一夕就能完成的，一線教育工作者需在教學活動中潛移默化地滲透.

具體應該做到以下幾點：

1.研讀課程標準，把握函數思想的“高度”和“深度”

我國數學教育家劉亦衍曾說過“數學教育的核心問題是樹立函數觀念”.[3]研讀課程標準，感悟函數思想的“高度”和“深度”，才能高屋建瓴地從整體上把握教材，在教學中滲透核心素養.

2.融合信息技術，把握數學思維的“寬度”和“廣度”

現代信息技術支持下的高中課程整合（如計算機軟件GeoGebra的運用），有利于學生發展數學創新素養.反過來，學生數學創新素養的發展、核心素養的提升，有利于信息技術的迭代更新，進而促進數學教育乃至人類的長久發展.在社會不斷發展的今天，高中生對現代信息技術有了一定了解，為信息技術與數學課程融合奠定了堅實的基礎.隨著信息技術的發展，從傳統數學教學環境到動態數學教學環境的轉變，能為學生的探究活動提供更大的空間，為學生的發展注入活力.

“互聯網+數學教育”將“抽象數學”變得“生動美麗”，有益于激發高中生的學習熱情，優化他們的科學知識體系，提高他們的創新精神，從而進一步發展學生的核心素養.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]梁宗巨，王青建，孫宏安.世界數學通史[M].沈陽：遼寧教育出版社，2005.

[3]王貴軍.GeoGebra與數學實驗[M].北京：清華大學出版社，2017.

[4]李春蘭.劉亦珩的數學教育思想[J].數學通報，2012（9）：7-11，26.