基于改進諧波小波和分形的碰摩故障診斷研究

宋圣霖，雷文平，郝旺身，陳 宏

（鄭州大學振動工程研究所，河南 鄭州 450001）

1 引言

時頻分析中的小波變換可以有效的處理具有非平穩特征的碰摩信號。D.E.Newland構造出了在頻域緊支及簡單解析表達式的諧波小波，因其分解算法速度快在工程中得到了應用；文獻[1]提出了諧波小波和去趨勢波動算法，分析了摩擦信號特征提取的應用；文獻[2]提出了改進的諧波小波包峭度譜，能夠自適應的從最優頻帶含噪信號中出提取出故障信息；文獻[3]研究了諧波小波包和無環圖相關向量機（RVM）的故障診斷算法。

分形幾何是由美國數學家Benoit B.Mandelbrot提出的，分形維數是其中的一個重要參數。文獻[4]分析了數學形態分形維數（MMFD）和模糊C 均值的滾動軸承性能退化狀態識別方法；文獻[5]分析了廣義分形維數（GFD）和核主成分分析在軸承微弱故障中的提取；文獻[6]分析了盒維數的變異性在滾動軸承外圈故障的應用。

綜上所述，研究提出了一種改進諧波小波和分形的方法，分析了關聯維數在碰摩故障中的識別，改善了傳統關聯維數和諧波小波分形算法的不足，得出的關聯維數在識別碰摩故障中更具有穩定性和區分度，保真性較好。

2 諧波小波變換

諧波小波是復小波，它的時域定義為：

從式（1）可以看出，諧波小波在變換過程中具有相位鎖定的功能，可以把信號分解到不同的頻帶。

諧波小波也可以定義為：

信號x(t)在尺度j下的諧波小波ψm，n(t)的小波變換為：

根據傅里葉變換的性質得：

式中：Wx(m，n，ω)—Wx(m，n，τ)的傅里葉變換；x(ω)—x(t)的傅里葉變換。

作Wx(m，n，ω)的傅里葉逆變換，即可得到尺度j下的信號諧波小波變換。

3 改進諧波小波

諧波小波在頻域具有完美的盒型譜特征，克服了常見的db小波、樣條小波幅頻特性不夠好的不足。但諧波小波在時域的緊支性不夠好，衰減慢，以及時域產生Gibbs現象。基于此在諧波小波時域中引入高斯包絡e-σ2t2，減少時域Gibbs現象以及對故障沖擊特征的平滑，結合諧波小波帶寬n-m，改進諧波小波表達式如下：

式（5）可以分為：

式中：

式中：包絡修正系數k∈[0，1]，決定了改進諧波小波時域衰減速率。4π(n-m)為幅值修正系數。改進的諧波小波仍是復解析小波，近似具有盒型特性，頻譜頂部非常平坦，時域緊支性好于諧波小波。

4 G-P關聯維數

4.1 關聯維數算法

實測的滑動軸承振動信號在一定時域長度下可以采用分形維數來表征信號的不規則度。分形維數中實際應用較多的是GP關聯維數，設一維數據序列為x1，x2，…，xN，取前N-(m-1)τ個數據，記n=N-(m-1)τ，其中m為嵌入維數。構成一組相空間量，矩陣表示為：

以Xn×m矩陣中的行向量Xi為重構空間中的點，任意兩點之間的空間距離為：

給定一個距離r，檢測有多少對距離Sij小于r，并標記其占總數的比例為C(r)。

式中：H(r-si，j)—Heaviside函數：

選取合適的距離r，在無標度區內關聯維數D有如下關系：

4.2 關聯維數參數的選擇

關聯維數的大小和時延τ、點數N、嵌入維數m的大小有關，選取實驗中的一組數據進行分析。通過計算m=6，N=1024，τ依次為1，2，3，4，5，6 時，關聯維數依次為0.8463，0.8225，0.8169，0.8297，0.8390，0.8354。τ的取值為1時關聯維數最大，變化趨勢接近于τ為1時的值，所以取τ=1。

通過計算m=6，τ=1，N依次為256，512，1024，2048，4096時，關聯維數大小依次為0.7990，0.8376，0.8463，0.8821，0.8913。雖然點數的增多會造成計算時間增長，為了保證實驗結果的可靠性，N取值為4096。

通過計算τ=1，N=4096，m依次為2到12的關聯維數。得出隨著嵌入維數的增大，無標度區內直線趨于平行。最終選取嵌入維數m=8。得出圖形，如圖1所示。

圖1 不同嵌入維數的關聯維數曲線Fig.1 Correlation Dimension Curves with Different Embedding Dimensions

5 仿真實驗

分析Jeffcott 轉子的碰摩模型，如圖2所示。假設碰摩為彈性變形，摩擦符合庫倫定律，設定轉子質量m，轉子阻尼c，轉子定子間隙δ，質量偏心系數u，轉子剛度系數k，摩擦系數f，轉子徑向位移，轉子徑向剛度系數Kc，軸剛度非線性系數ks。則轉子系統的碰摩運動方程可以寫為：

圖2 碰摩模型Fig.2 Rub-impact Model

設定參數m=4kg，c=1200N·s/m，δ=0.2mm，k=3×106N/m，f=0.3，u=0.06mm，Kc=2×107N/m，ks=3×1011N/m。使用數值積分，得到時域圖以及改進諧波小波包第三層分解前3個頻帶，如圖3所示。從圖3可以看出改進諧波小波可以提取碰摩的沖擊成分，能量主要集中在第三層的近似成分。

圖3 仿真結果及小波變換Fig.3 Simulation Results and Wavelet Transform

6 實驗驗證

為了驗證改進諧波小波分解信號后，計算出的關聯維數穩定性，在Bently轉子實驗臺進行實驗。采樣頻率fs=2560Hz，轉速為1200 r/min，單盤轉子左側使用固定塊安裝傳感器采集正常工況數據，右側對稱安裝碰摩螺釘模擬單點碰摩故障，施加不平衡質量2g模擬不平衡導致的碰摩（以下簡稱耦合故障）。試驗設備，如圖4所示。對采集到的信號進行頻域分析，如圖5所示。圖5的頻譜分析中單點碰摩的1×幅值小于正常的1×幅值，原因是碰摩起到了附加支撐的作用；不平衡產生的碰摩相比較于單點碰摩，1×、2×幅值上升。

圖4 Bently實驗臺Fig.4 Bently Test-Bed

圖5的頻譜成份都在前100Hz之內，對信號進行改進諧波小波處理（k=0.1），取第三層的近似成分，計算關聯維數。隨著工況的復雜程度不斷增加，關聯維數從0.8819 增大到0.9026、0.9176，如圖6所示。

圖5 三種工況的頻譜圖Fig.5 Spectrum Diagram of Three Working Conditions

圖6 關聯維數擬合直線Fig.6 Correlated Dimension Fitting Line

分別對原始信號、諧波小波處理以及改進諧波小波處理的關聯維數進行統計，共8組，如表1～表3所示。

從表1到表3可以看出，原始信號的正常和單點碰摩的關聯維數區分度不是很好，原因是碰摩故障輕微難以進行特征提取；諧波小波處理信號得到的關聯維數對故障的區分度較好，穩定性也得到了提高，但是諧波小波存在時域Gibbs現象，導致對碰摩沖擊特征的提取失真較為嚴重。各工況關聯維數增長嚴重；改進諧波小波引入的高斯包絡，改善了時域Gibbs現象的缺點，對沖擊特征的平滑較小，得出的關聯維數相比諧波小波處理，失真并不嚴重，關聯維數變化不大，并且穩定性也得到提高。結果表明改進諧波小波和分形能夠更好的提取碰摩故障的微弱成分。

表1 原始信號關聯維數統計Tab.1 Statistics of Original Signal Correlation Dimension

表2 諧波小波關聯維數統計Tab.2 Statistics of Harmonic Wavelet Correlation Dimension

表3 改進諧波小波關聯維數統計Tab.3 Statistics of Improved Harmonic Wavelet Correlation Dimension

7 結論

原始信號經改進諧波小波處理后，在正常、單點碰摩、不平衡激勵的碰摩三種情況下得出的關聯維數相比較于傳統的關聯維數算法穩定性分別提高了29.17%，39.66%，41.03%，相比于諧波小波分別提升了19.05%，16.67%，14.81%。改進諧波小波和分形算法減少了諧波小波在分解與重構中對信號沖擊特征的平滑現象s，相比于傳統關聯維數算法來言區分度更好，相比于諧波小波分形算法來言保真性較好，為后續的早期碰摩故障研究提供了參考依據。