逆響應(yīng)面法用于磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的模型修正

陶 征，張 鵬，郭勤濤

（1.鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001；2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016）

1 引言

磨機(jī)是選礦工藝中一個(gè)十分重要的設(shè)備。然而，惡劣的工作環(huán)境及高作業(yè)率，極大地增加了磨機(jī)，尤其是磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)故障的概率。而這樣的關(guān)鍵設(shè)備一旦發(fā)生故障，往往給企業(yè)帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)損失。基于試驗(yàn)檢測(cè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性的變化，從而達(dá)到預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)健康狀況是當(dāng)前解決這一問(wèn)題的主要方法。然而，測(cè)點(diǎn)多、測(cè)點(diǎn)不全面以及無(wú)法實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)在線檢測(cè)是這一方法的主要問(wèn)題。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)以及有限元理論的發(fā)展，基于準(zhǔn)確的有限元模型實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性仿真代替現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的方法，越來(lái)越受到業(yè)內(nèi)人士的關(guān)注[1]。然而，準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)模型和模型的分析精度，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真分析的關(guān)鍵，通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元模型的確認(rèn)及其修正，尤其重要。

基于響應(yīng)面的有限元模型修正方法是近年來(lái)有限元模型修正技術(shù)研究的熱點(diǎn)[2-6]。其以顯式的響應(yīng)面模型接近擬合特征參數(shù)與設(shè)計(jì)參數(shù)間較為復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系，可以很好地解決機(jī)械結(jié)構(gòu)中存在的不確定參數(shù)這一問(wèn)題[7]。然而，基于響應(yīng)面法的有限元模型修正在求解不同特征量對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)修正量時(shí)，則必須通過(guò)迭代尋優(yōu)算法來(lái)求解，在實(shí)際工程應(yīng)用中仍不太方便。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]在逆系統(tǒng)應(yīng)用方法的基礎(chǔ)上提出了逆響應(yīng)面方法。該方法可以直接得到設(shè)計(jì)參數(shù)與特征參數(shù)之間的顯式表達(dá)式。在獲得逆響應(yīng)面模型后，無(wú)需迭代尋優(yōu)計(jì)算，即可直接計(jì)算出不同特征量對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)值。目前，該方法的有效性已在橋梁設(shè)計(jì)中獲得檢驗(yàn)[8-10]，而機(jī)械工程領(lǐng)域中的應(yīng)用實(shí)例尚未在相關(guān)文獻(xiàn)中提及。

為了探討和分析這一方法在機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析中的有效性，以磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)為對(duì)象，以其試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率數(shù)據(jù)為目標(biāo)值，基于逆響應(yīng)面法實(shí)現(xiàn)磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的有限元模型修正，驗(yàn)證了逆響應(yīng)面法在機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析中的有效性。

2 逆響應(yīng)面法修正的理論基礎(chǔ)

2.1 基本思想

逆響應(yīng)面法的基本思想是把輸出變量作為自變量，輸入變量作為因變量，通過(guò)更改響應(yīng)面函數(shù)中輸入變量與輸出變量的關(guān)系，最后通過(guò)回歸分析擬合出因變量和自變量之間的顯式表達(dá)式。

利用逆響應(yīng)面法進(jìn)行有限元模型修正可以直接得到待修正參數(shù)（如密度、彈性模量等）與特征參數(shù)（如固有頻率等）之間的顯式表達(dá)式，在逆響應(yīng)面的系數(shù)確定以后，不需要再進(jìn)行迭代修正，即可根據(jù)特征參數(shù)的目標(biāo)值直接得到待修正參數(shù)的修正值[8]。

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)常用的方法有中心復(fù)合設(shè)計(jì)（central composite design，簡(jiǎn)稱CCD）、均勻設(shè)計(jì)、D-最優(yōu)化設(shè)計(jì)等[9]。中心復(fù)合設(shè)計(jì)常用于逆響應(yīng)面試驗(yàn)設(shè)計(jì)，可以回歸擬合一階、二階模型或更高階模型，逆響應(yīng)面模型通常為二階模型，所以這里采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)（CCD），對(duì)于2k析因設(shè)計(jì)，總設(shè)計(jì)點(diǎn)N由三部分組成：（1）中心點(diǎn)，即試驗(yàn)原點(diǎn)，共n（c試驗(yàn)中nc一般取1）個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)；（2）坐標(biāo)軸點(diǎn)，共2k個(gè)坐標(biāo)軸點(diǎn)；（3）析因設(shè)計(jì)點(diǎn)，共2k個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，總試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)N=1+2k+2k，對(duì)于逆響應(yīng)面函數(shù)的回歸系數(shù)個(gè)數(shù)M一般由式（1）計(jì)算[9]，其中，m—輸入?yún)?shù)的個(gè)數(shù)。

2.3 逆響應(yīng)面的擬合

在有限元模型修正中，通常采用二次多項(xiàng)式函數(shù)作為逆響應(yīng)面函數(shù)，其表達(dá)的曲面即為逆響應(yīng)面模型，函數(shù)形式即：

式中γk、γki、γkji—逆響應(yīng)面函數(shù)回歸系數(shù)；x（ii=1，2，……，Nx）—輸入變量（特征參數(shù)）；y（ii=1，2，……，Ny）—輸出變量（設(shè)計(jì)參數(shù)）；Nx—輸入變量的數(shù)量；Ny—輸出變量的數(shù)量［9］。得到樣本數(shù)據(jù)以后，可以利用最小二乘法擬合得到式（2）的回歸系數(shù)，即得到系統(tǒng)的逆響應(yīng)面方程。

2.4 逆響應(yīng)面精度檢驗(yàn)

為得到逆響應(yīng)面擬合的精度，利用平均相對(duì)誤差來(lái)檢驗(yàn)擬合結(jié)果的準(zhǔn)確性，式（3）可以檢驗(yàn)求解的誤差大小。

式中：Nx—輸入變量的數(shù)量—輸入變量的目標(biāo)值；—由有限元修正得到的特征參數(shù)的實(shí)際值[9]。在文中的實(shí)際工程應(yīng)用中，通過(guò)模態(tài)試驗(yàn)獲取特征參數(shù)的目標(biāo)值，故可通過(guò)計(jì)算修正值的誤差來(lái)分析逆響應(yīng)面擬合的效果。如果誤差太大，則可以通過(guò)增加逆響應(yīng)面的階次或者增加試驗(yàn)點(diǎn)來(lái)減小誤差。

3 算例分析

某齒輪軸結(jié)構(gòu)，如圖1所示。軸總長(zhǎng)507.7mm，材料屬性：齒輪軸和盤(pán)的泊松比μ=0.3，彈性模量為210 GPa，密度為7850 kg/m3，前四階試驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)值分別為：421.23Hz、521.95Hz、1101.53Hz 和1891.57Hz。經(jīng)有限元分析可知，泊松比對(duì)模態(tài)振型影響較小，其不作為設(shè)計(jì)參數(shù)。現(xiàn)以齒輪軸和盤(pán)的彈性模量與密度為待修正參數(shù)，以前四階模態(tài)頻率為特征參數(shù)進(jìn)行模型修正，并與響應(yīng)面法的修正結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

圖1 齒輪軸Fig.1 Gear Shaft

本次試驗(yàn)設(shè)計(jì)的特征參數(shù)是4個(gè)，設(shè)計(jì)參數(shù)是4個(gè)，試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)N=25，回歸系數(shù)M=15，N＞M，無(wú)需增加試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)即可求解出逆響應(yīng)面函數(shù)。利用CCD建立試驗(yàn)點(diǎn)并進(jìn)行有限元分析得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表1所示。其中，E1、E2表示齒輪軸彈性模量和圓盤(pán)彈性模量，ρ1、ρ2表示齒輪軸密度和圓盤(pán)密度，f1、f2、f3、f4分別表示前四階模態(tài)頻率。由表1中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)最小二乘法擬合得到的逆響應(yīng)面函數(shù)如式（4）～式（7）所示。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 Experimental Data

將實(shí)際的模態(tài)數(shù)值帶入公式得到設(shè)計(jì)參數(shù)值，分別為163GPa，7250.8kg/m3，175GPa，6500.4kg/m3。將設(shè)計(jì)參數(shù)值帶入有限元模型中分析得到修正后的模態(tài)頻率，并與響應(yīng)面法（采用相同的試驗(yàn)數(shù)據(jù)）修正結(jié)果對(duì)比結(jié)果，如表2所示。

表2 結(jié)果對(duì)比Tab.2 Results Comparison

分析結(jié)果表明，在輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)數(shù)量相等的情況下，逆響應(yīng)面法模型修正較響應(yīng)面法模型修正效果更好，逆響應(yīng)面法可以應(yīng)用到機(jī)械結(jié)構(gòu)的模型修正中。

4 工程實(shí)例

某7.9m 大型磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)，如圖2 所示。圖中：1—電機(jī)；2—聯(lián)軸器；3—高速小齒輪；4—高速大齒輪；5—聯(lián)軸器；6—小齒輪；7—磨機(jī)（包含筒體、齒輪和負(fù)載）。

圖2 某7.9m磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.2 Sketch of a 7.9m Mill Transmission System

大型磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)規(guī)格較大，在獲取傳動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)數(shù)據(jù)過(guò)程中不太方便，因此，以大型磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)為原生系統(tǒng)，基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的相似設(shè)計(jì)理論對(duì)原生系統(tǒng)組成元素識(shí)別，采用相同功能和作用的組成元素，設(shè)計(jì)并搭建了一級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)裝置，如圖3所示。依據(jù)各零部件在結(jié)構(gòu)上的連接關(guān)系將傳動(dòng)系統(tǒng)拆分為輸入軸子結(jié)構(gòu)和輸出軸子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)中包含傳動(dòng)軸及軸上零部件。這里以輸入軸子結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，基于逆響應(yīng)面法對(duì)其進(jìn)行模型修正。

圖3 傳動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)Fig.3 Transmission System Test-Bed

模態(tài)試驗(yàn)坐標(biāo)系和試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)設(shè)計(jì)，如圖4所示。圖中的點(diǎn)為試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)位置，測(cè)點(diǎn)共25個(gè)。由于測(cè)點(diǎn)數(shù)量較多，為得到整體振型，采用移動(dòng)傳感器的測(cè)量方式解決傳感器數(shù)量較少的不足，分別測(cè)量各個(gè)測(cè)點(diǎn)的X、Y和Z三個(gè)方向的加速度信號(hào)，獲得各個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息。

圖4 模態(tài)實(shí)驗(yàn)建模Fig.4 Modal Experimental Modeling

利用N-modal模態(tài)識(shí)別軟件對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，識(shí)別各階模態(tài)，模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果，如表3所示。

表3 模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Modal Test Results

輸入軸子結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖5所示。傳動(dòng)軸和齒輪之間以及傳動(dòng)軸和圓盤(pán)之間用bonded接觸連接；軸承采用彈簧單元模擬。在模型建立過(guò)程中對(duì)子結(jié)構(gòu)部分連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，導(dǎo)致模型中存在一定的誤差，對(duì)未安裝軸承狀態(tài)下的輸入軸子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正，識(shí)別傳動(dòng)軸、齒輪以及圓盤(pán)的材料參數(shù)，經(jīng)過(guò)模型修正結(jié)果分析，小齒輪的材料參數(shù)不是顯著參數(shù)，故將小齒輪和輸入軸當(dāng)作一種材料進(jìn)行分析，識(shí)別材料參數(shù)，如表4所示。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite Element Model

表4 材料參數(shù)Tab.4 Material Parameters

這里的設(shè)計(jì)參數(shù)為軸承1 和軸承2 等效彈簧單元的剛度。軸承1和軸承2的初始剛度值分別為4.5e7N/m 和6.0e7N/m。以軸承等效彈簧單元的剛度為試驗(yàn)因素，以有限元模型模態(tài)分析結(jié)果的前兩階模態(tài)為響應(yīng)值，采用CCD方法建立試驗(yàn)點(diǎn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)，并在有限元模型中分析計(jì)算得到樣本數(shù)據(jù)，如表5所示。基于表5的樣本數(shù)據(jù)擬合逆響應(yīng)面函數(shù)，如式（8）、式（9）所示。

表5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.5 Experimental Data

將表3的試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率值帶入逆響應(yīng)面函數(shù)中即可得到修正后的剛度值，修正結(jié)果為：軸承1 剛度6.5e7N/m，軸承2 剛度5.27e7N/m。將剛度值帶入有限元模型進(jìn)行分析得到修正后的模態(tài)頻率，并計(jì)算修正前后的模態(tài)頻率誤差，如表6所示。結(jié)果顯示：有限元模型精度得到明顯改善。因此，逆響應(yīng)面法能有效地應(yīng)用到機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析中。

表6 模態(tài)頻率誤差Tab.6 Modal Frequency Error

5 結(jié)論

通過(guò)采用逆響應(yīng)面法對(duì)磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行模型修正修正，并分析驗(yàn)證該方法在機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中的有效性。算例顯示逆響應(yīng)面法可用于機(jī)械結(jié)構(gòu)的有限元模型修正中，且修正效果較優(yōu)于響應(yīng)面法，工程實(shí)例顯示出逆響應(yīng)面法在機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析中的有效性。

逆響應(yīng)面法可直接得到設(shè)計(jì)參數(shù)關(guān)于特征參數(shù)的顯式表達(dá)式，根據(jù)特征參數(shù)的目標(biāo)值直接得到設(shè)計(jì)參數(shù)值，相比響應(yīng)面法減少了迭代優(yōu)化的過(guò)程，這不僅節(jié)省了很大的計(jì)算工作量，也為機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析提供了一種有效的方法，更為后續(xù)傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性分析提供了準(zhǔn)確模型。