始于“活動”，成于“轉(zhuǎn)化”，促深度學習

吳建惠　周敏剛　李碩

[摘? 要] 隨著深度學習走向數(shù)學核心素養(yǎng)實踐教學落實的逐步深入，這種新型的教學理念與實踐探究方式也在促進課堂教學的改革.在初中數(shù)學課堂教學中，深度挖掘教材意圖、依托數(shù)學活動載體、創(chuàng)新設計數(shù)學活動、挖掘活動潛在價值，提高學生參與活動的積極性，使學生在活動中經(jīng)歷與感悟，在實踐中思辨與質(zhì)疑，在本質(zhì)上抽象與轉(zhuǎn)化，在結(jié)構(gòu)上建構(gòu)與聯(lián)系，使深度學習在課堂真正發(fā)生，促進初中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學核心素養(yǎng);深度學習;數(shù)學活動

深度學習是課程改革以來對課程理解和課堂實踐的深化，它既是一種理念，也是一種實踐指導策略[1]. 在新一輪的教學改革中，深度學習走向數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)，從理論完善逐步到落地指導教學實踐，因此對于深度學習的研究有必要回到課堂教學中去[2].

初中學生對數(shù)學知識的理解，在于經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程、理解知識本質(zhì)、體會思想方法、促進數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展. 在數(shù)學學習中，數(shù)學知識的學習是實現(xiàn)數(shù)學思維的發(fā)展、各種問題的解決、思想方法的感受、數(shù)學價值的體會的基礎(chǔ)[3]. 數(shù)學學習過程是教師、學生圍繞學習內(nèi)容而展開的活動過程，初中深度學習要求學生能夠全身心投入具有挑戰(zhàn)性的、富有思維含量的數(shù)學活動[1]. 讓初中學生參與富有思維含量的數(shù)學活動，這就需要教師能夠?qū)虒W活動進行高效轉(zhuǎn)化. 筆者作為指導教師參與了“最短路徑問題”的備課、磨課，引發(fā)諸多思考，現(xiàn)就創(chuàng)新教學活動設計、抽象轉(zhuǎn)化解決問題、促進學生深度學習等方面的一些做法與大家分享.

“兵馬未動糧草先行”的思考

一個好的問題情境必須基于學生的已有經(jīng)驗、學習內(nèi)容和學習環(huán)境進行綜合考慮，充分激發(fā)學生的好奇心和求知欲，引發(fā)學生的深層興趣，促進學生攜帶自己對學習內(nèi)容的已有理解卷入學習活動中來[2] . 針對學生的學習情況，教師反復磨課，結(jié)合教學經(jīng)驗提出以下思考問題.

思考1：本節(jié)課是“課題學習”課，與其他的課有什么不同？

思考2：本節(jié)課作為“軸對稱”的章節(jié)最后一課，應發(fā)揮怎樣的教學價值？

思考3：“最短路徑問題”多與近幾年新疆中考壓軸題整合出現(xiàn)，解決此類問題對學生的要求很高，通過本節(jié)課學習，要重點培養(yǎng)學生哪些關(guān)鍵能力？促進學生哪些數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展？

思考4：怎樣將這些能力培養(yǎng)點恰當?shù)厝谌虢虒W活動中？

帶著這些問題反復交流思考. 我們認為：從課的類型上看，“課題學習”在人教版教材中占比極少，一部分教師會把“課題學習”課當作習題課來上，使學生錯失了參與數(shù)學活動與實踐的機會. 參與磨課的交流者一致認為“課題學習”既不同于新授課，也不同于實踐課，它應該是以知識應用為起點、學生參與為方式、問題解決為目標的綜合課;從教材的整體性上看，作為本單元的結(jié)課內(nèi)容，在知識上是對本章的概括與綜合應用，在結(jié)構(gòu)上還應從“圖形與幾何”的單元教學的視角思考本節(jié)課安排兩個活動的內(nèi)在關(guān)聯(lián);從內(nèi)容的綜合性上看，“最短路徑問題”多與幾何圖形、函數(shù)問題融合在一起，考查學生綜合解決問題的能力，基于這種高度的綜合性，教師要以數(shù)學活動為載體，有機地融入真實情景中，凸顯數(shù)學轉(zhuǎn)化的能力，逐步引導學生形成對以往知識經(jīng)驗的調(diào)取的思維方式.

“知所不豫，行且通焉”的實踐

（一）以《古從軍行》詩詞引入，滲透中華傳統(tǒng)文化

師：我國唐代詩人李頎的《古從軍行》“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩句中描繪了將軍飲馬的場景.

問題1：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊L飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

教學說明：問題情境不僅將學生引入活動的情境之中，激發(fā)了學生學習的興趣，還將中華傳統(tǒng)文化融入其中，在趣味中蘊藏著數(shù)學問題，以問題為導向，引發(fā)學生的思考.

（二）深挖數(shù)學活動內(nèi)涵，以“聯(lián)系”促“轉(zhuǎn)化”

對于“將軍飲馬”這個經(jīng)典問題，在平常教學中，往往是“探而不究”“淺嘗輒止”，做對稱點的想法和做法一般是教師告知給學生的，教師只是教會學生“怎么做”. 在這樣的學習過程中，學生處于被動接受和簡單模仿的狀態(tài)，顯然學生的理解是淺顯的，思維是低階的. 相對于此，采用深度學習的學生將采用更高水平的認知加工方式[2]. 對于這個問題的處理，執(zhí)教者對“為什么這樣做”“怎樣想到這樣做”進行了思考，做了如下創(chuàng)新設計.

創(chuàng)新點1：借助學生畫圖與演示幫助學生理解將同側(cè)點轉(zhuǎn)化為異側(cè)點的必要性和可行性.

先讓學生自己畫圖探尋動點C的位置，教師巡視學生所畫圖形，發(fā)現(xiàn)有相當一部分學生是過A點或B點向直線L作垂線段（如圖2），此時教師追問：“確定此時AC+BC最短嗎？”在教師的追問下，一部分學生開始轉(zhuǎn)換思路，運用刻度尺測量驗證，發(fā)現(xiàn)當C點在垂足處時AC+BC并不是最短的. 這種認知上的沖突極大激發(fā)了學生深入探究的欲望，但由于C點是一動點，位置難以確定，學生的思維受阻. 此時教師利用幾何畫板演示，并利用幾何畫板的度量功能顯示AC、BC及AC+BC的值，拖動C點，當C點從左往右運動時，AC+BC的值越來越小;經(jīng)過某一時刻，繼續(xù)拖動C點從左往右運動時，卻發(fā)現(xiàn)AC+BC的值反而越來越大. 由此可以斷定：1.最小值是存在的. 2.滿足條件的C點應該在兩個垂足之間.

如何確定C的位置？教師通過引導學生與自我對話，與其他同學交流，啟發(fā)學生產(chǎn)生聯(lián)想，到目前為止，學生思維的最近發(fā)展區(qū)有兩個，分別是“垂線段最短”和“兩點之間線段最短”，當排除了“垂線段最短”的思路后，自然會聯(lián)想到“兩點之間線段最短”. 但此時兩定點在定直線的同側(cè)，為了在直線上產(chǎn)生動點，教師應引導學生將直線同側(cè)點通過點的映射轉(zhuǎn)化到異側(cè)，利用“兩點之間線段最短”成功將動點位置鎖定.

教學說明：上述活動設計，學生積極參與到探究問題中去，經(jīng)歷了“畫圖抽象→認知沖突→思維矯正→測量再探→引導轉(zhuǎn)化→化動為定→問題解決”的學習過程，形成了將軍“飲馬問題”的數(shù)學模型. 基于以上的深入探究，學生對問題的感受是深刻的，對問題的理解也是深刻的，將外顯于形的活動逐步內(nèi)化于心.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

創(chuàng)新點2：通過學生動手操作將“架橋問題”轉(zhuǎn)化為“飲馬問題”模型.

對于知識的應用于遷移，可以通過變式練習的方式實現(xiàn). 教師將課本中的問題2改編為：如果將河岸改為一條河，牧馬人從河一岸的A點去河另一岸的B點，現(xiàn)要在河上架一座小橋PQ，橋造在何處可使從A到B的路徑APQB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？

這個問題極大地激發(fā)了學生的興趣，問題被抽象成求AP+PQ+BQ的值最小問題（可以看作是兩定兩動模型），學生躍躍欲試后發(fā)現(xiàn)無從下手，此時教師設計以下活動.

學生活動：請在作業(yè)紙上試著畫一畫，找出架橋的點，完成作圖并證明. 作圖前可先思考以下問題，有了一定想法后可在小組內(nèi)交流：

（1）需要找某個點的對稱點嗎？

（2）求AP+PQ+BQ的值最小問題可以通過轉(zhuǎn)化而簡化嗎？

（3）能不能將此問題與將軍“飲馬問題”聯(lián)系起來？

學生的做法大大超出教師的預期，下面展示一個小組學生的對話.

生1：不用找對稱點，直接連接AB.

生2：你的做法不對，直接連接AB的話，橋PQ就與河岸不垂直了.

生3：既然河的寬度是固定的，AP+PQ+BQ的值最小問題可以先轉(zhuǎn)化為求AP+BQ最小，那我們是不是先把河寬看作是0.

生2：怎么可能？

生3：在練習紙上畫好圖（1），先將紙沿直線b折一折，再將直線b向上平移，直到與直線a重合，點B就隨著紙張被平移了一個橋長，落到了點B′的位置，此時問題就轉(zhuǎn)化成圖（2），即將問題轉(zhuǎn)化成了“將軍飲馬”模型，連接AB′，交直線a于P點，然后再將紙展開，直線b還原到原來的位置，此時，過P點向直線b做垂線段，垂足為Q，連接QB，如圖（3）所示，AP+BQ即為最短，最后連接B′B，獲得PQBB′是平行四邊形，成功將QB轉(zhuǎn)化為PB′的長，利用兩點之間線段最短獲證.

教學說明：學生在已有知識儲備的基礎(chǔ)上產(chǎn)生聯(lián)想，經(jīng)歷不斷試錯、不斷調(diào)整思路的過程，通過將有河寬的問題進行平移轉(zhuǎn)化為“飲馬問題”基本模型. 解決問題的思路是學生親身實踐獲得，由定點B→沿著與河岸垂直方向平移一個河寬→得到B′→連接AB′→確定動點P的位置→沿著與河岸垂直的反方向平移一個河寬→確定動點Q的位置. 學生在直觀操作中加深了對問題的理解，對接下來的推理證明也能夠順利實施.

實踐后的反思

（一）以“問題”為導向促進教師深度思考

問題是數(shù)學的心臟，也是撬動教師思考的杠桿. 通過對平常所謂“熟悉”的教學進行再挖掘，從教材的整體視角、從學生的學習視角、從素養(yǎng)的培養(yǎng)視角提出問題，靶向問題，以問題為導向促進教師深度思考，使教師在向“理解數(shù)學、理解教學、理解學生”的路途上又邁進了一步. 以問題為導向既立足教材又高于教材，既凸顯數(shù)學學科本質(zhì)又體現(xiàn)學科育人價值，從行動上詮釋了“用教材教”的理念，教學立意從知識立意向能力立意與素養(yǎng)立意轉(zhuǎn)變.

（二）以“活動”為載體促進學生深度參與

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提到：數(shù)學教學應根據(jù)具體的教學內(nèi)容，注意使學生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠有機會獲得直接經(jīng)驗[4]. 通過創(chuàng)設具有問題情境的活動，為學生搭建實踐、思考、探索、交流的平臺，不斷引發(fā)質(zhì)疑與思辨、調(diào)整和糾偏，嘗試與創(chuàng)新，在掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想的基礎(chǔ)上積累基本活動經(jīng)驗. 數(shù)學活動不僅要關(guān)注教師的深度教學，也要關(guān)注學生思維的成長. 本節(jié)課以兩個活動為載體，使學生經(jīng)歷了畫圖、測量、折紙、猜想、推理的過程，在活動中思考、在活動中感悟，在活動中提升了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，促進了深度學習在活動中的落實.

（三）以“轉(zhuǎn)化”為突破促進思維深度發(fā)展

數(shù)學教學問題“遇難則轉(zhuǎn)”，教師要以問題轉(zhuǎn)化為突破口，將未知的、有困難的問題通過轉(zhuǎn)化這一橋梁實現(xiàn)由繁到簡、由未知到已知的過渡，實現(xiàn)在學生知識與思維的最近發(fā)展區(qū)嫁接新的知識方法的目標，讓知識與能力自然生長. 在探究“架橋問題”時，學生很容易借鑒“飲馬問題”的活動經(jīng)驗，聯(lián)想到利用“飲馬問題”模型來解決，但兩個問題又有不同，架橋問題是雙線問題，“飲馬問題”是單線問題，認知出現(xiàn)了沖突怎么辦？靠轉(zhuǎn)化.

于漪說：“現(xiàn)在的老師不缺教學技巧，而缺思想與批判性思維. ”學生在對連接AB的做法進行否定后，似乎進入絕境，執(zhí)教者巧妙利用學生的生成資源，將“橋的寬度不影響最短距離”引導為“將橋?qū)挄簳r看作為0”，通過平移一條平行線成功將問題轉(zhuǎn)化為“飲馬問題”模型，由雙線雙動點（架橋問題）轉(zhuǎn)化為單線單動點（飲馬問題），在紙張折疊過程中，學生直觀可見隨著直線b的平移，B點也平移了一個河寬，不僅解決了“怎樣做”的問題，還解決了“為什么這樣做”的問題. 學生的思維經(jīng)歷了簡單模仿、思辨質(zhì)疑、猜想論證的過程，對問題有了既直觀又深刻的理解，發(fā)展了幾何直觀、數(shù)學抽象、邏輯推理的學科素養(yǎng)，此時的課堂因轉(zhuǎn)化而精彩，思維因抽象而進階.

（四）以“聯(lián)系”為觀點促進知識整體建構(gòu)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中強調(diào)：要把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識和整體知識的關(guān)系，引導學生感受數(shù)學的整體性. 數(shù)學家G.波利亞說過：好問題如同蘑菇，它們都成堆的生長，找到一個以后你應當再去周圍找一找，很可能附近就有好幾個[5]. “飲馬問題”“架橋問題”并不是兩個孤立的問題，在它周圍我們可以發(fā)現(xiàn)其他的“蘑菇”. 站在初中“圖形與幾何”的單元教學視角來看，解決線段和最小問題的基本思路是抓住不變特征剝離基本圖形，確定定點和定線，利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換，將不共線的線段轉(zhuǎn)化為共線的線段，實現(xiàn)“折轉(zhuǎn)直”，再依據(jù)“兩點之間線段最短”獲得線段和最小的結(jié)論（如圖4）. 這樣既關(guān)注了知識的生長點又重視了知識的延伸點，形成了研究問題的整體和轉(zhuǎn)化思想，幫助學生建構(gòu)知識框架，便于學生整體理解章節(jié)知識，有利于學生深入思考，更有利于問題的分析與解決，做到既見樹木，又見森林.

結(jié)束語

深度學習是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學習，具有注重批判理解、強調(diào)內(nèi)容整合、促進知識建構(gòu)、著意遷移運用等特征[6]. 深度學習在大單元教學理念的設計下，始于“活動”，成于“轉(zhuǎn)化”，從而不斷推動教學理念與教學實踐的發(fā)展. 深度學習是核心素養(yǎng)導向下的課程教學改革的需要，是一線教師不斷深化理論基礎(chǔ)與推進實踐教學的探索，是教師教學思想、理念、能力的集中體現(xiàn). 有了教師對深度學習的深入理解與應用，才會有課堂上學生的批判理解、聯(lián)系建構(gòu)、轉(zhuǎn)化遷移、靈活運用，深度學習才會真正發(fā)生，學生數(shù)學核心素養(yǎng)才會逐步養(yǎng)成.

參考文獻：

[1]劉曉玫，黃延林，頓繼安，等. 深度學習：走向核心素養(yǎng)（學科教學指南·初中數(shù)學）[M]. 北京：教育科學出版社，2019.

[2]張春莉，王艷芝. 深度學習視域下的課堂教學過程研究[J]. 課程·教材·教法，2021，41（08）：63-69.

[3]劉曉玫. 數(shù)學深度學習的教學理解與策略[J]. 基礎(chǔ)教育課程，2019（08）：33-38.

[4]中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[5]徐軍. 尋找周圍的“蘑菇”[J]. 高中數(shù)學教與學，2005（02）：6-8.

[6]安富海. 促進深度學習的課堂教學策略研究[J]. 課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

基金項目：新疆維吾爾自治區(qū)一流本科專業(yè)——昌吉學院“數(shù)學與應用數(shù)學”（新教函[2020]61號）;新疆生產(chǎn)建設兵團第六師教學研究和師資培訓中心課題——初中數(shù)學課堂教學“引·探·導·測”教學模式研究（LSKTJX2019056）;“自治區(qū)普通高校人文社會科學重點研究基地（培育）——昌吉學院新疆基礎(chǔ)教育質(zhì)量提升研究中心”.

作者簡介：吳建惠（1970—），昌吉市教育局教研員，高級教師，大學本科，昌吉學院碩士生導師，從事數(shù)學教育研究.

通訊作者：李碩（1975—），昌吉學院數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院教授，碩士生導師，從事課程與教學論、運籌學及算法、數(shù)學模型等研究.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF