關注數學教學過程 促進解題能力提升

袁源

[摘? 要] 數學教學要以全面發展學生為目標，重視學生的興趣和“雙基”的培養，通過有效設問激發學生的探究熱情，讓學生在問題的指引下完成知識的系統化建構，進而培養思維的深度和廣度，讓學生真懂真會，促進解題能力全面提升.

[關鍵詞] 興趣;探究熱情;解題能力

對于初入高中的學生來講，學生的思維模式、學習模式受初中訓練模式的影響還停留在機械模仿和機械記憶階段，尤其對概念的學習更趨向于記憶. 與高中相比，初中數學知識較為簡單，學生可以通過機械記憶和強化訓練順利完成學習任務;然進入高中后，單憑記憶而不關注知識的形成過程，就很難理清問題的來龍去脈，也就很難應對千變萬化的高考題目. 因此，教學中教師要側重加強理解性記憶，借助于情境引導、過程探究、有效設問培養思維的深刻性，促進解題效率提升.

趣味引入，激發熱情

若數學教學中還延續“師講生聽”的教學模式，那么數學課堂必然是枯燥乏味、缺乏生機的，這樣很難啟發和培養學生的學習興趣，久而久之，學生容易產生厭學情緒，不利于學生發展. 為了讓學生感覺數學學習是一件有趣的、有意義的事情，教師在教學中可設計一些與生活緊密相連的趣味性問題來提升學生的參與性，激發學生的探究欲.

案例1 函數模型及其應用.

師：2014年，據齊魯網報道，在山東梁山泊一帶發現了千年蓮子，這些蓮子不僅已經發芽，而且部分已經生根. 關于千年蓮子的傳言也應運而生. 因大家對“梁山好漢”的印象深刻，聯想到這些千年蓮子應該就是梁山時期的產物，更有人說這些蓮子就出土于宋江墓. 你認為這個可信嗎？

生1：傳言不可信，應該利用數學方法進行推理和運算.

師：確實，單憑想象而不通過推理的說法很難具有說服力.

師：為了估算出這些蓮子的大概年份，考古學家采用放射性碳法，借助于碳14殘余量（y）與時間（x）的函數關系式y=0.999879x進行推算. 由現存蓮子的碳14殘余量為87.9%，得0.879=0.999879x.

師：你們認為該如何計算？（學生積極運算很快有了答案）

師：很好，問題是否解決了呢？

生3：還沒有，要驗證是否與“梁山好漢”時期相符.

師：回顧一下歷史，“梁山好漢”時期指哪個時期呢？

生齊聲答：公元1119—1126年.

師：非常好，我們的學生各個知識淵博，現在驗證一下是否相符呢？

生4：不相符，因為2014-1066=948？埸（1119，1126），所以蓮子應是“梁上好漢”時期前的產物.

在教學過程中，教師巧妙地應用考古案例激發學生探究的欲望，引導學生利用數學模型這一有力的武器去驗證真理，進而培養學生良好的思維習慣和科學意識，有利于數學素質的提升.

仔細推敲，夯實基礎

為了讓學生能夠深化理解，在概念、公式等基礎知識教學中，要重視知識內涵和外延的拓展，讓學生從理解的層面去掌握新知，進而提高應用的靈活性和準確性.

案例2 函數的單調性.

學習函數的單調性前學生已經掌握了一次函數、二次函數等簡單函數模型，在此基礎上引入函數的單調性順理成章. 由于學生在之前的學習中習慣從“形”的角度去理解和塑造函數模型，因此在單調性引入時教師也常常從“形”的角度出發，借助于“形”的直觀讓學生體會函數的單調性，從而抽象出函數單調性的概念. 這樣的教學尊重學生的學習習慣，符合學生的認知，讓學生學起來顯得更加輕松. 然在學生應用概念解決問題時卻發現，學生常常會忽視概念中的“任意”，因為缺乏對“任意性”的探究，影響了知識的遷移. 因此，教師在“形”上講解后，也應重視“數”的回歸，通過兩者有機結合深化對概念的理解.

為了引導學生從“數”上理解函數單調性的定義，教師設計了如下題目讓學生進行辨析，深化理解.

問題1：定義在R上的函數f（x）滿足f（1）<f（2），則f（x）是R上的增函數.

問題2：定義在R上的函數f（x）滿足f（1）<f（2），則f（x）在R上不是減函數.

問題3：定義在R上的函數f（x）在（-∞，0]上是增函數，在[0，+∞）上也是增函數，則f（x）在R上單調遞增.

問題4：定義在R上的函數f（x）在（-∞，0）上是增函數，在[0，+∞）上也是增函數，則f（x）在R上單調遞增.

對于問題1，如f（x）=x，滿足f（1）<f（2），但f（x）在（-∞，0]上遞減，在[0，+∞）上遞增;對于問題2，假設f（x）在R上是減函數，則f（2）<f（1），這與已知相矛盾，因此問題2的命題成立;對于問題3和問題4，可以借助于函數圖像去理解真假. 這樣，借助于一些真假命題，引導學生借助于“形”深入地理解“數”，進而實現“數”的突破，準確地把握概念.

巧妙設問，深化理解

學生利用課堂所學內容解決課后習題時顯得得心應手，然在面對后面較為復雜的綜合題目時卻找不到解題的突破口，究其原因，主要是缺乏學習深度和廣度，沒有真正理解內容，解題時常常照搬照抄原來的解題思路，當面對綜合題目時，該方法往往失效，故解題效率難以提升. 為了增加學習深度、拓展學習廣度，教學中可設計一些有效的問題，使學生的思維在問題的指引下走向更深處. 如何設問才更有效呢？筆者認為，設問需要找到一些關鍵點，如新知生成，新方法探究，題目難度分解，等等，通過設問降低問題的難度，拓展思維的寬度，促進學生提升能力.

1. 在知識的形成中設問

在日常概念、定理的教學中，部分教師感覺這些抽象出來的真理是可以直接采用的，對知識的生成過程常常視而不見. 學生因缺乏對過程的理解，使得他們在應用時顯得過于僵硬，缺乏解題的靈活性，影響了解題效率的提升. 因此，教學中要讓學生經歷一些知識產生和發展的過程，從而培養思維的靈活性.

案例3 正弦定理.

問題1：如圖1所示，在直角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C對應的邊分別為a，b，c，它們之間有什么關系呢？

問題2：如圖2所示，銳角三角形ABC是否也有類似的關系呢？

問題3：若△ABC為鈍角三角形呢？

按照問題2的探究思路，若△ABC為鈍角三角形同樣可以得出此結論. 這樣，從特殊的三角形入手，通過對不同三角形的逐一探究引導學生推導出了正弦定理.

2. 在新方法探究中設問

對于同一個問題往往有不同的解決方法，為了尋找最優的解決方法往往需要接受一些新方法. 教學中不能簡單地將解決方法灌輸給學生，而應該讓學生知道為什么這個方法是最優的，知曉應用該方法的優勢及適用范圍，切勿只記其果而未探其因使學生對新方法的理解和應用過于局限，影響學生的長遠發展.

案例4 利用線性規劃求值域.

問題1：函數值P能取到0嗎？如果可以，此時的x，y分別是多少？是否唯一？

問題2：函數值P能取到1嗎？如果可以，此時的x，y分別是多少？是否唯一？

問題4：結合上面的問題，你得到了什么？

在本題的講解中，教師并未直接指導學生如何畫可行域，而是通過多個問題引導學生自己發現、自己總結，從而使方法的得出顯得更加理所當然，知識遷移自然流暢. 在問題的鋪墊下，學生知曉函數值P可能對應著無數個x，y，而點（x，y）在直線y=-x+P上.

3. 在難點處設問

當學生遇到一些題設較抽象、較復雜的問題時，可以通過設問來分解難度，讓思維由淺入深、螺旋上升.

為了降低題目的難度，消除學生的畏難情緒，教師在講解前補充了如下幾個問題：

問題1：常數c≥x對于1≤x≤5恒成立，求c的最小值.

問題2：常數c≥x+y對于1≤x≤5，1≤y≤5恒成立，求c的最小值.

問題3：常數c≥x+y對于圓x2+y2=1上任意一點恒成立，求c的最值.

總之，教師要發揮好設問的價值，帶領學生理清問題的來龍去脈，進而有效避免簡單的生搬硬套，幫助學生拓展和關聯知識，使認知結構更加全面、系統，進而做到“真懂真會”，提高解題效率.