數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下高中“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)思考

陶閨秀

摘 要：隨著新課改的不斷推進(jìn)，教學(xué)改革的重點已經(jīng)逐漸聚焦于如何將核心素養(yǎng)落實到具體的課堂教學(xué)上。因此如何在教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就成了教育者所關(guān)注的重要話題?！皵?shù)形結(jié)合”是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，實際上蘊含于多個知識載體中，尤其在函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)中體現(xiàn)的尤為明顯。“如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中能發(fā)揮好‘?dāng)?shù)形結(jié)合，不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，降低教師的教學(xué)壓力又促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[1]。”本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)為例從三個方面談一談對“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)的思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)的基本性質(zhì)

1 問題的提出

數(shù)學(xué)是高中學(xué)習(xí)的重要學(xué)科，具有知識量大、抽象性強等特點。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會出現(xiàn)“聽不懂”、“不會做”等現(xiàn)象，學(xué)生學(xué)習(xí)壓力增大，甚至喪失了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，成績一落千丈，面對這些問題該如何去解決呢？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》在基本理念中指出“數(shù)學(xué)教學(xué)要凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法，要處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識技能之間的關(guān)系[2]”，作為新時代的教師不僅要教給學(xué)生必需的基本知識，更重要的是教會學(xué)生學(xué)會思考，掌握方法，引導(dǎo)學(xué)生在探究知識的過程中去了解、去體會數(shù)學(xué)當(dāng)中所蘊含一些重要的思想方法，并能準(zhǔn)確靈活的運用數(shù)學(xué)思想方法去解決一些具體的問題，進(jìn)而凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)要求。

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線之一，而函數(shù)的基本性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)的第一階段是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下“數(shù)形結(jié)合”思想教學(xué)的典型素材。在探究函數(shù)基本性質(zhì)時，按照圖像特征——數(shù)量刻畫——符號語言的研究思路，通過觀察具體函數(shù)圖象，讓原本比較復(fù)雜且抽象數(shù)學(xué)知識以直觀、生動的形式表現(xiàn)出來，增強學(xué)生的興趣，發(fā)展直觀想象素養(yǎng);經(jīng)歷從具體的直觀描述到形式的符號表達(dá)的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);經(jīng)歷函數(shù)的基本性質(zhì)的探究過程，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);通過應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)[3]。因此本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以函數(shù)的基本性質(zhì)的教學(xué)為例對高中“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)進(jìn)行深入思考，力求可以給數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下高中“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)帶來啟發(fā)。

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下高中“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)思考

新課改在“四基”、“四能”、“三會”和一個“科學(xué)精神”的課程目標(biāo)下，正式提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]?！八幕弊鳛榘l(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，而“數(shù)形結(jié)合”作為高中重要的數(shù)學(xué)思想方法又是“抽象”基本思想在操作層面上的具體體現(xiàn)。因此如何讓“數(shù)形結(jié)合”有效地應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中得以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？就成了重點要去思考的內(nèi)容。下面筆者將以人教版高中數(shù)學(xué)必修一第一章第三節(jié)的“函數(shù)基本性質(zhì)”教學(xué)為例，分別從以下教學(xué)的三個主要環(huán)節(jié)來談一談對基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下高中“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)的思考。

2.1 “數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)引入

一堂好的數(shù)學(xué)課都離不開一個“有意思”的引入，引入作為教學(xué)的重要環(huán)節(jié)起著不容小覷的作用。如果在課堂教學(xué)中能夠使思想方法的引入充滿自然與生動，不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣而且還能使學(xué)生加深對知識的理解程度，進(jìn)而有利于后續(xù)教學(xué)的順利開展。

例如，在進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)時，為了讓學(xué)生更直觀地理解函數(shù)的單調(diào)性，教材從學(xué)生比較熟悉的一次函數(shù)f（x）=（x）與二次函數(shù)f（x）=x2入手，通過呈現(xiàn)具體的函數(shù)圖象并結(jié)合問題驅(qū)動：“請觀察函數(shù)圖象你能說說它們分別反映了函數(shù)的哪些變化趨勢[4]？”此時教師可以利用課件的動畫播放功能，讓學(xué)生更加清晰的發(fā)現(xiàn)：“函數(shù)f（x）=（x）的圖象從左至右是上升的;函數(shù)f（x）=x2的圖象在y軸的左側(cè)是下降的，在軸的右側(cè)是上升的[4]”，進(jìn)而引出課題——單調(diào)性。因為呈現(xiàn)的函數(shù)是學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)，學(xué)生立馬會想到所對應(yīng)的函數(shù)圖象，接著讓學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象感知函數(shù)圖象的變化規(guī)律，這一環(huán)節(jié)的設(shè)計使得“數(shù)形結(jié)合”的引入更加自然且恰到好處，教師還可對“數(shù)形結(jié)合”進(jìn)行深層次的說明，并強調(diào)“數(shù)形結(jié)合”在函數(shù)這一部分應(yīng)用的重要性進(jìn)而為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

2.2 “數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)開展

當(dāng)“數(shù)形結(jié)合”引入到函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)后，不僅引起了學(xué)生的注意還使得學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合”在函數(shù)基本的性質(zhì)中的應(yīng)用有了基本的感知，接下來就應(yīng)該去思考如何在函數(shù)的基本性質(zhì)的教學(xué)中使得“數(shù)形結(jié)合”得以順利的開展？眾所周知，教師的教與學(xué)生的學(xué)都離不開教材，而教材是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編制的，是系統(tǒng)反映學(xué)科內(nèi)容的教學(xué)用書，具有一定的權(quán)威性。要想順利開展“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)，教師有必要從教材入手，挖掘典型案例，在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。

例如在進(jìn)行偶函數(shù)的教學(xué)時，教材在開頭部分就給出了函數(shù)f（x）=x2與f（x）=|x|的圖象及相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表讓學(xué)生通過觀察圖象及表格去找存在的數(shù)量上的關(guān)系。

在這一過程中，因為表格上所呈現(xiàn)的是特殊點，所以學(xué)生就會得到在函數(shù)f（x）=x2中，f（-3）=9=f（3），f（-2）=4=f（2），f（-1）=1=f（1）。在函數(shù)f（x）=|x|中f（-3）=3=f（3），f（-2）=2=f（2），f（-1）=1=f（1）。進(jìn)而得到結(jié)論：當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等[4]。此時教師可加以問題驅(qū)動，使學(xué)生提出疑問：“表格中列出的點具有上述性質(zhì)，那表格中沒有出現(xiàn)的點是否也具有同樣的性質(zhì)呢？”此時教師可以很自然地以二次函數(shù)f（x）=x2為例利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)這樣的教學(xué)情境：利用幾何畫板做出函數(shù)f（x）=x2的函數(shù)圖象，在函數(shù)圖象上任取一點A，并作出點A關(guān)于y軸對稱的那個點，分別測出兩點的坐標(biāo)A'，最后將點A設(shè)為動點，生成動畫，如圖1所示：

展示完動畫，提問同學(xué)通過動畫發(fā)現(xiàn)了什么？同學(xué)總結(jié)得到：隨著點A的變化，總有f（-x）=f（x）。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，抓住了“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)的典型素材，讓學(xué)生從數(shù)與形兩個方面出發(fā)進(jìn)一步了解偶函數(shù)，在這個過程中學(xué)生也會很自然產(chǎn)生聯(lián)想到對于任意的x∈R，f（-x）=f（x）是否成立。這樣的操作正是因為找準(zhǔn)了教學(xué)時機并結(jié)合了信息技術(shù)，使靜態(tài)的圖象以動態(tài)的形式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，讓偶函數(shù)概念的給出變得“有理有據(jù)”，更加有利于學(xué)生理解，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)。5750642A-D46E-46A1-B5DD-4250FC84761C

2.3 “數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)深化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)教育要能幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法[2]”。由此可見新課改對新時代的教師教學(xué)提出更高的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的從來都不是為了讓學(xué)生會背哪個概念會做哪道題，而是在經(jīng)歷具體的探究過程之后掌握數(shù)學(xué)知識，具備解決問題的技能、思想與方法。因此為落實新課改對教學(xué)新的要求，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，這必然需要教師在教學(xué)中對“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)進(jìn)行深化，而不是僅僅只是停留在思想的引入與開展上。表現(xiàn)在具體教學(xué)上就是：在遇到問題時教師不應(yīng)該只是簡單的教給學(xué)生具體的做題步驟而是要在具體的題目中分析所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，提供給學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路，而這一過程離不開教師耐心的引導(dǎo)，學(xué)生及時的自我總結(jié)與反思。

例如在進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)時，為了讓學(xué)生更好地掌握數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，教師經(jīng)常會給學(xué)生列舉一些類似于這樣的典型例題：“畫出y=x2-5x-6函數(shù)圖象，請根據(jù)函數(shù)圖象判斷它的單調(diào)性，并加以證明[4]”。在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這部分練習(xí)時，教師一定要注意先不要急于讓學(xué)生說出問題的答案，而是要留給學(xué)生足夠的思考空間，讓學(xué)生自己主動思考，大膽嘗試，最后進(jìn)行自我的總結(jié)與反思。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計使學(xué)生經(jīng)歷由函數(shù)圖象得到函數(shù)的變化規(guī)律，再由函數(shù)反饋到具體的函數(shù)圖象即用代數(shù)的方法來證明函數(shù)圖象的變化，在具體的練習(xí)操作過程中不僅鞏固了具體的數(shù)學(xué)知識而且對于“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用更加熟練。

3 小結(jié)

“數(shù)形結(jié)合”有著豐富的思維意蘊和教學(xué)價值，數(shù)形關(guān)聯(lián)、數(shù)形互化、數(shù)形交融，有助于打破數(shù)形分離的靜態(tài)模式，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的抽象目標(biāo)轉(zhuǎn)化為具體目標(biāo)，有助于數(shù)學(xué)知識的再生長，有助于學(xué)生更好地培養(yǎng)抽象思維和形象思維，拓寬問題解決的視域，優(yōu)化思維方式[6]。函數(shù)的基本性質(zhì)的這節(jié)課主要分為函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值、奇偶性兩部分內(nèi)容，在教學(xué)過程中，重點就是要讓學(xué)生經(jīng)歷所涉及概念的形成過程，同時學(xué)生在學(xué)習(xí)完本節(jié)課時能夠準(zhǔn)確的判斷出一些具體函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性并且能利用函數(shù)的單調(diào)性去求一些函數(shù)的做大值最小值[2]。因此在進(jìn)行這部分教學(xué)時教師要明確函數(shù)圖象是探究函數(shù)的基本性質(zhì)的直觀依據(jù)，要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象獲得對函數(shù)的基本性質(zhì)的直觀認(rèn)識，為了更好地落實核心素養(yǎng)下高中“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)，將高中“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)的思考總結(jié)如下：

3.1 增強學(xué)習(xí)意識，深入理解“數(shù)形結(jié)合”

常言道：“要給學(xué)生一杯水，老師要有一桶水”，教師要基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)首先自身要對“數(shù)形結(jié)合”的發(fā)展歷史、內(nèi)涵、分類、應(yīng)用等多個方面進(jìn)行認(rèn)識，增強自身的學(xué)習(xí)意識，只有自身對“數(shù)形結(jié)合”有了深刻的認(rèn)識，才能在教學(xué)中為學(xué)生提供準(zhǔn)確且全面的講解。

3.2 體會教材設(shè)計意圖，挖掘典型案例

任何知識的教與學(xué)都離不開以教材，教師只有在足夠了解教材內(nèi)容、準(zhǔn)確領(lǐng)悟教材中每部分設(shè)計意圖的基礎(chǔ)上，才能在“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)中談發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。例如在函數(shù)的基本性質(zhì)的教學(xué)中，教材中無論在導(dǎo)入、思考、探究欄目還是在例題講解中都蘊含了“數(shù)形結(jié)合”思想方法。例如：在教材第28頁“思考欄目”中如何利用函數(shù)解析式f（x）=x2描述“隨著x的增大，相應(yīng)的隨著f（x）減少”“隨著的增大，相應(yīng)的f（x）也隨著增大”[2]？這一部分實際上蘊含著進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)的素材，教師要抓住這一素材引導(dǎo)學(xué)生借助“圖形”得到函數(shù)單調(diào)性也就是“數(shù)”認(rèn)識，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)。

3.3 基于課標(biāo)，保證“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)的高效性

新課程標(biāo)準(zhǔn)是教師教學(xué)改革的依據(jù)，是規(guī)范教師教學(xué)行為的依據(jù)，因此教師在教學(xué)前要結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的宗旨、要求、內(nèi)容，完善教案設(shè)計，對自己的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)、教學(xué)反饋、教學(xué)評價進(jìn)行綜合設(shè)計，提高教案的可執(zhí)行度，確保課堂教學(xué)可以順利進(jìn)行[5]?！皵?shù)形結(jié)合”的教學(xué)要以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，抓住教學(xué)的重難點，結(jié)合實際情況設(shè)置科學(xué)合理的教學(xué)目標(biāo)，并對一節(jié)課中哪一環(huán)節(jié)需要引入“數(shù)形結(jié)合”、哪一環(huán)節(jié)需要對“數(shù)形結(jié)合”進(jìn)行深入展開都要有明確的計劃，做到保證教學(xué)高效性，免于流于形式、浪費教學(xué)時間。

3.4 抓住契機，增強“數(shù)形結(jié)合”引入的自然性

一個好的教學(xué)引入應(yīng)具有自然性，自然的引入“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)可以讓教學(xué)更加順暢避免突兀，進(jìn)而增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)信心激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

例如：在探究函數(shù)的單調(diào)性及最大（?。┲怠⑵媾夹缘母拍畹倪^程中都是通過觀察具體的函數(shù)圖象獲得對函數(shù)基本性質(zhì)的直觀認(rèn)識，讓學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象，描述函數(shù)圖象的特征，結(jié)合圖、表用自然語言描述函數(shù)圖象的特征，最后用數(shù)學(xué)符號的語言定義函數(shù)性質(zhì)，在這個過程中教師要特別重視從幾個實例的共同特征抽象到一般性質(zhì)的概括過程，進(jìn)而自然引入“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)，使學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合”在函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用有深刻的了解。

3.5 創(chuàng)設(shè)情境，增強“數(shù)形結(jié)合”開展的趣味性

“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)并不是連貫的、一蹴而就的，它具有極強的分散性，教師如果只是對“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)停留在簡單的復(fù)述定義上就失去了數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義，因此在開展“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)時，教師可創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，借助信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)教學(xué)能夠讓學(xué)生更好地體會由靜轉(zhuǎn)動態(tài)變化過程，增強數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的趣味性及立體感，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.5 學(xué)會學(xué)習(xí)，深化“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)

迫于高考的壓力有部分學(xué)校為趕教學(xué)進(jìn)度，三年的高中知識被濃縮至兩年學(xué)完，這對于部分學(xué)生來說學(xué)習(xí)壓力巨大，學(xué)生因此也喪失了學(xué)習(xí)信心。作為教師不僅在教會學(xué)生知識同時也要使學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)?！皵?shù)形結(jié)合”的深化教學(xué)實際上就是能熟練掌握并靈活運用“數(shù)形結(jié)合”。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對如何促進(jìn)學(xué)習(xí)學(xué)會學(xué)習(xí)，自覺地發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從教學(xué)教學(xué)活動重心的轉(zhuǎn)移、教學(xué)方法的選擇、學(xué)法的指導(dǎo)三個方面提出了建議，其中學(xué)會學(xué)習(xí)的表現(xiàn)指標(biāo)有樂學(xué)善學(xué)、勤于反思、信息意識[2]。在“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)中教師要保證讓學(xué)生在了解“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把握題目信息且能熟練運用“數(shù)形結(jié)合”解決實際問題，并在練習(xí)過后能主動就行總結(jié)并反思，這樣在遇到同類型的問題時就不再畏懼。

3.6 注重過程，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)綜合能力、數(shù)學(xué)情感態(tài)度的集中體現(xiàn)，既是具體的，也是潛在的，包括數(shù)學(xué)思考、推理、論證、建模、交流、問題解決等關(guān)鍵能力，根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵特征，可將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)歸納為一種數(shù)學(xué)意識、理性思維、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)思想等[6]。“數(shù)形結(jié)合”作為蘊含于數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵要素，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中要合理把握“數(shù)形結(jié)合”的引入，開展與深化，在保證教學(xué)完整性的基礎(chǔ)上，注重知識的探究過程，處理好教學(xué)中的細(xì)節(jié)問題使得抽象難以理解的數(shù)學(xué)知識融合數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生對知識認(rèn)知從模糊逐漸轉(zhuǎn)為清晰準(zhǔn)確，最終達(dá)到發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最終目的。

參考文獻(xiàn)：

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