圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題教學(xué)案例分析

楊鐳

摘 要：文章以2020年全國(guó)3卷理科第15題為母題，開(kāi)展“一題一課 多解變式”的教學(xué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，探究圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題的多種解法，挖掘數(shù)學(xué)思想；結(jié)合一題多變，引導(dǎo)學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；一題一課；立體幾何；解題教學(xué)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）知識(shí)要點(diǎn)

與球有關(guān)的問(wèn)題主要考查兩個(gè)方面：一是幾何體的外接球問(wèn)題；二是幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題。本節(jié)課主要研究幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，解決以圓錐為背景的內(nèi)切球問(wèn)題，體會(huì)立體幾何問(wèn)題與平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的聯(lián)系；在變式和解題過(guò)程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和方程思想。

（二）學(xué)習(xí)背景

1．教材分析

本節(jié)課選自人教A版（2019年版）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)[1]第八章第8.3.2節(jié)《圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積》。幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，靈活多變，能很好地考查學(xué)生對(duì)幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題的本質(zhì)及相關(guān)知識(shí)的熟練掌握程度，以及計(jì)算的靈活運(yùn)用能力。

2．學(xué)情分析

本節(jié)課是在學(xué)生剛學(xué)完《球的表面積與體積》之后，進(jìn)一步深入探究與幾何體的內(nèi)切球有關(guān)的問(wèn)題。學(xué)生雖已初步掌握球的表面積與體積公式，但僅僅停留在公式的運(yùn)用階段，對(duì)于在復(fù)雜情境中求解幾何體的內(nèi)切球半徑，還沒(méi)有形成相關(guān)的知識(shí)體系，遇到稍復(fù)雜的、不熟悉的問(wèn)題，仍找不到突破口。

（三）學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．核心素養(yǎng)目標(biāo)

（1）通過(guò)親身經(jīng)歷用多種解法求圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題的探究，體會(huì)等體積法的普適性以及平面幾何相關(guān)知識(shí)的靈活應(yīng)用，促進(jìn)直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升[2]。……