函數與方程思想在高中數學解題中的應用

陸云儀

【摘要】函數與方程思想應用于高中數學解題時，最重要的作用在于可以使學生明確函數與方程二者之間的深度聯系、相互轉化相關的知識.在此基礎上，學生能夠從統一的角度思考函數與方程，最終形成綜合性的問題分析和問題解決能力.在這個過程中，教師需要注意：①函數概念對應的范疇是“透明與不透明”，根據題設條件完成函數表達式（關系式）的建立即可;②方程可以被視為一種特殊情況下的函數，是指某些處于未知狀態的變量關系已經在一定程度上得到了明確，足以支撐建立多個未知量之間的等價關系.在解題過程中具體應用函數與方程思想時，應避免陷入“恒等”境地.只有當學生能夠深度理解函數與方程，才會提高解決數學問題的效率和正確率.

【關鍵詞】高中數學;函數思維;方程思維

1 引言

函數思想是指以“運動變化”有關的觀點、方法，針對數學問題內的數量關系完成函數的構建，之后運用相關知識解決其中的問題.

從某種程度上來看，方程思想可以被理解成函數思想的一部分——函數是指通過函數表達式展現某些變量之間的關系、趨勢，而方程則是根據某些變量之間的相等、不等關系建立方程或方程組，根據題設條件、方程性質，通過轉化問題等方式，最終求解出正確答案.

實際上，函數與方程思想與數學建模、數形結合等解題思維有異曲同工之妙，教師應教導學生善加應用，以達到提高解題效率和正確率的目的.

2 函數與方程思想應用于高中數學解題過程中的內涵分析

在高中數學教學中，函數與方程是非常重要的知識，相關內容及由此形成的解題思想在多個部分的教學中均有所滲透，故長期以來都是高考的熱點和重點內容.函數關系的建立是指用“運動變化”的觀點，對題設條件中某些變量相互之間的數量關系的變化趨勢進行表示.

比如最基本的一元一次函數y=2x中存在兩個變量，x為自變量，y為因變量，2是系數，表明y隨著x的變化而變化，且y的具體值在非零點狀態下永遠是x的2倍.隨著函數表達式的復雜程度提高，y逐漸被f（x）替代，這種“變量表示”方面直接發生的變化實際上便是函數思想的深度開發實現了升級——希望鍛煉學生的思維，使學生不必執著于傳統x、y的思維定式，而是以更加寬廣的思維視域對函數解題過程進行深入了解，并逐漸形成函數思維.

筆者在高中數學教學中發現，很多學生經常受函數與方程的“定義”困擾.具體而言，如果以x、y表示函數關系，則學生很容易便會理解;而以f（x）與x表示函數關系，則很多學生便會感到困惑.筆者認為，造成上述現象的原因在于，在基礎定義方面，部分高中數學教師予以忽略，并沒有向學生講清“升級變化”的關系.相關理解如下：傳統變量關系之中，所謂的“因變量y”根據“自變量x”的變化而變化.明確此點之后可得出一個結論——y與x有關.基于此，y便會被改寫成f（x），意為“與x取值有直接關系的變量”.這實際上揭示了一個高中數學現實教學困境——部分學生缺乏解題思維的根本原因在于學生對一些基礎知識究竟如何演化、升級轉變的過程無法有效理解，造成的結果是：教師以及一些基礎扎實、思維敏捷的學生認為很簡單的知識內容，對一些基礎較差、思維相對遲緩的學生來說便是難以理解的內容.如果對此類基礎認知問題予以忽視，則很多學生便無法跟上教師的思維，導致成績越來越差，遑論形成函數思維.

在函數思維的基礎上，高中數學教師還應通過開設專題課程，將函數與方程二者之間的深度聯系、相互轉化相關的知識教授給學生，使學生能夠從統一的角度思考函數與方程，最終形成綜合性的解題思維.

高中數學教師需要幫助學生理清、總結的關鍵點在于：①函數概念對應的范疇是“透明與不透明”，根據題設條件完成函數表達式（關系式）的建立之后，便可以在“只知道需要實現的功能”的情況下，隨時完成“對函數的調用”.這個過程無需清楚具體的映射關系（若要解決這個映射關系，本身便是函數內部需要做的）.②方程與函數不同，可以被視為一種特殊情況下的函數，是指某些處于未知狀態的變量關系已經在一定程度上得到了明確，足以支撐建立多個未知量之間的等價關系.在此基礎上，可以通過合并或消除同類項的方式，對等價關系進行進一步計算、合理推斷，最終找到未知量的具體值.但在分析題設條件、構建方程組的過程中，教師還應注重一個問題——設立方程組時，應避免出現恒等（即通過合并同類項、消除某個項之后無法形成未知量等于具體數值的情況，而是出現“x=x”的情況），否則便是做無用功.

3 函數與方程思想在高中數學解題過程中的具體應用

3.1 函數與方程思想在解決高中數學數列問題中的應用

數列是高中數學的重點知識，也是高考必考項目.最常見的考點為求等差、等比數列的通項公式、確定某個具體值等.進入高三年級之后，針對數列的求解問題在難度方面會大幅度提升，考查的內容不再是基本的數列知識，而是可能將基礎數列知識隱藏在題設條件中，且無論具體求解什么內容，數列相關問題的解題過程均會與函數與方程思想高度契合（主要是函數思想）.基于此，在解決數列問題時，教師應該教導學生充分利用與函數相關的知識，以“性質”作為紐帶，在函數與數列之間成功架設橋梁，揭示二者之間的內在關聯，最終達到快速求解問題的目的.

例1? 等差數列{an}的前n項之和表示為Sn，等差數列的公差d<0，如果存在正整數m（m≥3），能夠令am=Sm，n>m（n∈N+），那么當n>m（n∈N+）時，下列關系中成立的一項是：

（A）Sn>an.? （B）Sn≥an.

（C）Sn

這道問題看似是等差數列問題，但實際上是考查學生的數形結合能力，如果學生應用函數與方程思想，通過畫圖、構建函數的方式將Sn、an對應的函數圖象一一列出，則此題便會迎刃而解.

具體而言：①通過題設條件——等差數列的公差d<0，故數列{an}與前n項之和{Sn}對應的函數圖象的表達式分別為：y=dx+（a1-d）、y=d2x2+（a1-d2）x.前者為直線，后者為拋物線，結合a1=S1（這是一個題目中沒有提及但卻屬于常識的隱藏性條件——“第一個項”與“第一項之和”是一個概念，很多高中學生在解題過程中常常對這類代表性的隱藏條件予以忽視，最終導致的結果便是無法對這類隱藏條件進行靈活運用，造成解題過程進展至一定程度時便無法繼續）、am=Sm這兩個條件，經過代入轉化之后，便會形成兩個等式方程（如上文所述，這兩個方程、代入轉化的過程實際上都可以省略，進行此種描述是為了讓讀者能夠更加清晰地理解函數與方程思想在此道等差數列相關問題中的具體應用）.

根據二元直角坐標系中呈現出的直線與拋物線之間的交結情況，可以得出一個結論——兩個函數有兩個交點，分別為交點1（1，a1）和交點2（m，am）.按照圖象從左向右的方向，可以得出如下結論：第一，在第一個交點之前，兩個函數沒有交集，直線的取值均在拋物線之上;第二，第一個交點以及第二個交點之間（兩個交點意味著兩個函數在兩個交點對應坐標處的取值完全相同），拋物線的取值均在直線之上;第三，第二個交點之后，拋物線的取值便在直線之下.由于拋物線對應Sn，直線對應an，故在n>m的情況下，Sn必定小于an，故本題答案為C.

3.2 函數與方程思想在高中數學等式、不等式方程相關問題中的應用

前文提到，函數與方程思想在高中數學多種類問題中均得到了滲透，多種形式的數學（包括物理學科涉及的距離類問題）問題均可以基于函數與方程思想，通過靈活設置函數、構建方程組，最終完成問題的求解.需要注意，這種函數與方程（組）的設置除了等式之外，對于不等式也同樣適用.

例2 已知有兩個城市A、B，二者之間的距離總長度為150km.一輛汽車行駛完150km所需的時間為一個半小時.現在這輛汽車與另一輛高速列車分別在A、B兩個車站同時發車并相向運行.高速列車初始行車速度為0，以3m/s2的加速度進行勻加速運動，求解兩輛車在途中相遇時，距離發車時刻的總行駛時間.

這道問題的解題思路為：題設條件中雖然并沒有給出汽車的行駛方式，但可基于“一輛汽車行駛完150km所需的時間為一個半小時”這一條件，首先求解出該汽車的平均時速，即為150km÷1.5h=100km/h.根據高中物理學知識可知，高速列車在初始速度為0的情況下，按秒計算的即時行車速度為V=V0+at（a=3m/s2）.如果設定兩車相遇的時間為x，則可以構建出的函數方程為y=150×1000-100×100060×60x-（v0x+32x2）=150000-2509x-（v0x+32x2）.在上述函數方程中，y表示兩輛車在行駛過程中的距離.代入V0=0這一條件之后，原函數方程便會在一定程度上得到簡化，最終獲得y=-32x2-2509x+150000.

至此階段，該題目便轉化成了一道“條件判定題”——只需判斷“是否存在滿足

Δ=b2-4ac=25092+4×32×150000，-32x2-2509x+150000

>0”的“距離的具體解”，便可以明確這道問題是否存在真實解.經過整合之后，得出判定值=1002+3600，這個值必定>0，故原題有解.實際上，按照例1的解題思維，教師可以引導學生將y=-32x2-2509x+150000.畫成一條拋物線，根據圖象變化趨勢，便可以確定最終值.

通過對上述幾道問題進行分析后可知，應用函數與方程思想實際上應用了以下兩個更加具體的思維模式：其一，數形結合思想.在題設條件較為復雜，無法直接計算時，可通過數與形的相互轉化，使相互之間的關系一目了然.其二，邏輯思維能力.題目中給出的條件存在另一種理解方式，而通過函數與方程思想便可實現對另一種理解方式的轉化，可使解題過程的難度降低.

4 結語

在解決高中數學問題時，基于函數與方程思想對題設條件中給出的已知量、未知量之間的關系進行全面分析，之后完成函數以及方程（組）的設置.如此一來，題設條件相互之間的轉化規律便已明確，會對最終求解出正確答案產生意想不到的效果.但教師在培養學生形成函數與方程思想的過程中，首先需要幫助學生理清函數與方程的區別，特別是基礎函數與復雜函數表達式之間的演化升級關系.如果學生對基礎知識缺乏足夠的了解，便無法有效形成函數與方程思想，這對學生未來的成長尤為不利.

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