垂線在角平分線中的應用

張興筑中學高級教師，市、縣優秀教師，多年來潛心研究教法和學法，有20多篇論文在《數理天地》、《中小學數學》、《湖北教育》、《教學與管理》等雜志上發表。

性質 垂直于角平分線的直線截角的兩邊，所截得的三角形是等腰三角形.

圖1

已知：如圖1，OP是∠MON的平分線，AB⊥OP，交ON于點A，交OM于點B，垂足為點C.求證：OB=OA.

證明 因為 OP平分∠MON，

所以∠BOC=∠AOC.

因為AB⊥OP，

所以∠OCB=∠OCA=90°.

在△BOC和△AOC中，

∠BOC=∠AOC，OC=OC，∠OCB=∠OCA，

所以△BOC≌△AOC.

于是OB=OA.

應用

例1 圖2

如圖2，已知AD是△ABC外角的平分線，CD⊥AD，垂足為點D，點E是BC的中點，連接DE.

求證：DE=12（AB+AC）.

證明 如圖2，延長CD，交BA的延長線于點F.

因為AD平分∠CAF，

CD⊥AD，

由性質可得

AC=AF.

所以CD=DF.

因為CE=EB，

所以DE=12BF.

因為BF=AB+AF，

所以DE=12（AB+AC）.

圖3

例2 如圖3，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BD，交BD的延長線于點E. 求證：BD=2AE.

證明 如圖3，延長AE和BC交于點F.

因為BD平分∠ABC，

AE⊥BD，

由性質可得AB=FB.

所以AF=2AE.

因為AE⊥BD，

所以∠F+∠CBD=90°.

因為∠ACB=90°，

所以∠BDC+∠CBD=90°.

于是∠F=∠BDC.

在△ACF和△BCD中，

∠F=∠BDC，∠ACF=∠BCD，AC=BC，

所以△ACF≌△BCD.

可得AF=BD.

所以BD=2AE.

圖4

例3 如圖4，已知△ABC的周長為19，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，且AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分別為點D和點E. 連接DE， 若BC=7，求DE的長.

解 如圖4，延長AE和AD，與BC分別交于點M和點N.

因為BD平分∠ABC，

AD⊥BD，

CE平分∠ACB，

AE⊥CE，

由性質可得AB=BN，AC=CM.

所以點D，E分別為AN，AM的中點.

于是DE=12MN.

因為△ABC的周長為19，BC=7，

所以AB+AC=12.

從而BN+CM=12.

因為BN=MN+BM，

BM+CM=BC=7，

所以MN=5.

因此DE=52.

注 由以上三例可以看出，解決這類問題的關鍵，是作角平分線的垂線，使它與角的兩邊相交，這樣才能應用性質，同時也為解題者提供了添加輔助線的方法.

練習

1.如圖5，已知AO是△ABC的角平分線，BD⊥AO交AO的延長線于點D，DE∥AC交BC于點E，連接AE，CD.若AB=3AC，求證四邊形ACDE是平行四邊形.

圖5圖6

2.如圖6，已知在△ABC中，點E是AB的中點，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為點D. 求證：BC-AC=2DE.