對角線互相垂直的四邊形的兩個性質

王浩山東省臨沂市平邑縣保太中學教師。曾在《數理天地》、《數學大世界》、《初中數學教與學》、《數學學習與研究》、《時代數學學習》、《沂蒙教育》、《數學周報》、《數學專頁》、《數學天地》、《中學生》等報刊發表文章70余篇。

對角線互相垂直的四邊形有什么性質呢？我們結合兩個典型例題得出結論并加以證明，進而靈活應用，旨在提升我們的解題能力和靈活運用的能力.

1 對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半

例1 閱讀材料：

圖1

如圖1，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為點P，求證：S四邊形ABCD=12AC·BD.

證明 因為AC⊥BD，

所以S△ACD=12AC·PD，S△ABC=12AC·BP，

所以S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC

=12AC·PD+12AC·BP

=12AC（PD+PB）

=12AC·BD .

解答問題：

（1）上述證明得到的性質可敘述為;

（2）已知：如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BD，對角線AC⊥BD，且相交于點P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性質求梯形的面積;

（3）如圖3，用一塊面積為800cm的四邊形紙做風箏，并用兩根長度相等的竹條作對角線固定風箏，對角線剛好互相垂直，問竹條的長是多少？

圖2圖3

解 （1）對角線互相垂直的四邊形的面積是對角線乘積的一半.

圖4

（2）過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，過點D作DF⊥BC，垂足為點F，因為四邊形ABCD是等腰梯形，

所以 AC=BD=DE，

因為AC⊥BD，

所以∠BCA+∠CBD=90°，

因為DE∥AC，

所以∠BCA=∠BED，

所以∠BED+∠CBD=90°，

根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知

EF=FB=FD=12×（3+7）=5，

根據勾股定理，得 ED=52，

所以S=S△EBD=12DE·BD

=12×52×52

=25平方厘米.

（3）因為BD=AC，

BD⊥AC，

所以S=12AC·BD=12AC2=800，

可得AC=DB=40（厘米），

故竹條的長是40厘米.

2 對角線互相垂直的四邊形的兩組對邊的平方和相等

例2

如圖5，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

圖5

（1）概念理解：如圖6，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由;

（2）性質探究：如圖5，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，試證明：AB2+CD2=AD2+BC2;

圖6圖7

（3）解決問題：如圖7，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的長.

解 （1）四邊形ABCD是垂美四邊形.

理由如下：因為AB=AD，所以點A在線段BD的垂直平分線上，同理得點C在線段BD的垂直平分線上，所以直線CA是線段BD的垂直平分線，所以AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形.

（2）因為AC⊥BD，所以

∠AOB=∠AOD=∠COB=∠DOC=90°，

根據勾股定理，得

AB2+CD2=OA2+OD2+OB2+OC2，

AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，

所以AB2+CD2=AD2+BC2.

（3）連接EB，GC，在正方形ACFG和正方形ABDE中，

∠BAE=∠GAC=90°，

所以∠BAE+CAB=∠GAC+∠CAB，

即∠EAC=∠BAG.

在△EAC和△BAC中，

EA=BA，∠EAC=∠BAG，CA=GA，

所以△EAC≌△BAG，

所以∠CEA=∠GBA，

又因為∠EMA+∠CEA=90°，

∠EMA=∠BMN，

所以∠BMN+∠GBA=90°，

即EC⊥BG，

所以四邊形CGEB是垂美四邊形，

通過（2）可以得到

BC2+GE2=EB2+GC2，

因為AC=4，AB=5，

所以CB=AB2-AC2=3，

GC=42，EB=52，

代入數據得

32+GE2=（52）2+（42）2，

求得GE=73.

練習

圖8

1.如圖8，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD≠CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”.小明說：“半菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半”.他的說法正確嗎？請你判斷并證明你的結論.

圖9

2.對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，現有如圖9所示的垂美四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AD=2，BC=4，則AB2+CD2=.

3.定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

（1）下面四邊形是垂等四邊形的是;（填序號）

①平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形.

圖10

（2）圖形判定：如圖10，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，過點D作DE⊥BD交BC的延長線于點E，且∠DBC=45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形;

圖11

（3）由菱形面積公式易知性質：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應用：在圖11中，面積為24的垂等四邊形ABCD內接于⊙O，∠BCD=60°，求⊙O的半徑.

答案

1.正確.2.20.

3.（1）④;（2）略;（3）4.