含參數的二次方程整數根的求解途徑

黃馬慶福建省晉江市第一中學高級教師。2011年指導的學生榮獲泉州市一等獎。多次榮獲“優秀指導教師”稱號。多篇論文發表于《數理天地》、《中學數學》、《高中數學教與學》、《中學數學雜志》等CN級刊物。

含參數的二次方程整數根問題，是初中數學競賽中常考的題型.本文簡單歸納其求解的思考途徑.

因為一元二次方程ax2+bx+c=0在Δ=b2-4ac≥0時有根x=-b±Δ2a，所以要使方程有整數根，必須Δ=b2-4ac為完全平方數，并且-b±Δ為2a的整數倍.這是基本思想.故常用思考途徑有以下幾種：

1 從判別式入手

例1 當x為何有理數時，代數式9x2+23x-2的值恰為兩個連續正偶數的乘積？

解 設兩個連續正偶數為k，k+2.

則9x2+23x-2=k（k+2），

即9x2+23x-（k2+2k+2）=0.

由于x是有理數，所以判別式為完全平方數，即

Δ=232+4×9（k2+2k+2）

=565+[6（k+1）]2，

令Δ=p2（p≥0），有

p2-[6（k+1）]2=565=113×5=565×1.

左邊=[p+6（k+1）][ p-6（k+1）]，p≥0，k>0，得

p+6（k+1）=113，p-6（k+1）=5，①

或p+6（k+1）=565，p-6（k+1）=1，②

解①得k=8，于是x=2或-419;

解②得k=46，于是x=-17或1309.

綜上可知，當x=2，-419或x=-17，1309時，9x2+23x-2恰為兩正偶數8和10，或者46和48的乘積.

因為“兩根為整數時，其和、積必為整數”因此，可以從根與系數的關系式中消去參數進行求解.

2 從根與系數的關系入手

例2 a是大于零的實數，已知存在唯一的實數k，使得關于x的二次方程x2+（k2+ak）x+1 999+k2+ak=0的兩個根均為質數. 求a的值.

解 設方程的兩個質數根為p，q.由根與系數的關系，有

p+q=-（k2+ak），①

pq=1 999+k2+ak.②

①+②，得 p+q+pq=1 999，

則（p+1）（q+1）=24×53.③

由③知，p，q顯然均不為2，所以必為奇數.

故p+12和q+12均為整數，

且p+12·q+12=22×53.

若p+12為奇數，則p+12=5r（r=1，2，3），從而，p=2×5r-1為合數，矛盾. 因此，p+12必為偶數.同理，q+12也為偶數.所以，p+12和q+12均為整數，

且p+14·q+14=53.

不妨設p≤q，則p+14=1或5.

當p+14=1時，q+14=53，得p=3，q=499，均為質數.

當p+14=5時，q+14=52，得p=19，q=99，q為合數，不合題意.

綜上可知p=3，q=499.

代入①，得 k2+ak+502=0.④

依題意，方程④有唯一的實數解.

故Δ=a2-4×502=0.

有a=2502.

如果根的表示式復雜，從韋達定理得出的關于參數（不妨設為a）的兩個關系式中消去參數a也較困難， 當方程中a的次數相同時，可以考慮將原方程變形為關于a的一次方程.

3 變更主元

例3 試求所有這樣的正整數a，使方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一個整數解.

解 因為方程中參數a是一次，所以可將a用x表示，即

a=2（x+6）（x+2）2.

又a是正整數，則 2（x+6）（x+2）2≥1.

解得-4≤x≤2且x≠-2.

故x=-4，-3，-1，0，1，2.

分別代入①，得符合題意的a的值為1，3，6，10.

練習

1.已知方程a2x2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（其中a為非負整數）至少有一個整數根.那么，a=.

2.求滿足如下條件的整數k，使關于x的二次方程（k-1）x2+（k-5）x+k=0的根都是整數.

3.已知關于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個整數根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1，求a+b+c的值.

4.若關于x的方程ax2+2（a-3）x+（a-13）=0至少有一個整數根，求非負整數a的值.

答案

1.1，3或5.

2.k=0或2.

3.-3或29.4.1，13.