解一類指數型不定方程

章啟平

大學本科學歷，中學一級教師，溫州市鹿城區優秀教師，全國初中數學聯賽優秀教練員，長期從事初中數學教學與研究，多篇教學論文在《數理天地》、《中小學數學》、《中學生數學》、《理科考試研究》等雜志上發表。

不定方程的整數解問題涉及數論方面的諸多知識，其解法更是百花齊放，許多數學愛好者都撰文介紹，筆者受益良多.這類方程中，指數型（指數含有未知數）的不定方程解法有一定的難度，很多學生無從下手，筆者在近期的教學實踐中，發現采用“選模找偶”的辦法解指數型的不定方程很有效果，這里舉兩例，介紹其解法，供大家參考.

例1 求所有的正整數x，y，z，使得

3x+4y=5z.

分析 3，4，5是一組非常常見的勾股數，方程一定存在一組解：x=y=z=2，但是否是唯一的一組就需要通過解方程或是進行正整數解的判斷來說明了.解方程是最直接的方式.解這樣的方程，同樣離不開對原方程的變形，變形的方式通常從等式的性質、因式分解等角度入手，而因式分解是解一般不定方程的常用方法，這里也可以采用，注意到，4y=22y，如果5z中的z也是偶數，則移項4y至等號右邊，可運用平方差公式進行因式分解.這里確定z是偶數可采用同余知識進行判斷.

因為3x≡0（mod3）;

4≡1（mod3）4y≡1（mod3）;

5≡-1（mod3）5z≡（-1）z（mod3）;

所以3z+4y≡1（mod3），

所以5z≡（-1）z≡1（mod3），

所以z是偶數.

具體解法如下：

解 3≡0（mod3）4≡1（mod3）3x≡0（mod3）4y≡1（mod3）

3x+4y≡1（mod3），

而5≡-1（mod3）5z≡（-1）z≡1（mod3），

所以，z是偶數，設z=2m（為正整數），

則3x+4y=5z，可轉化為

3x=52m-22y=（5m+2y）（5m-2y）

=3a×3b（a，b為非負整數）

5m+2y=3a5m-2y=3b2y+1=3a-3b，

當a≥1，b≥1時，3|（3a-3b），而2y-1不能被3整除，所以a，b中至少有一個為0，顯然b=0，此時

x=a.

所以2y+1=3x-1，

又因為y≥1，

所以2y+1≡0（mod4）3x≡（-1）x（mod4），

所以3x-1≡（-1）x-1≡0（mod4），

所以，x是偶數，設x=2p（p為正整數），

3p+1=2α3p-1=2β2=2α-2β1=2α-1-2β-1，

上式當且僅當α-1=1β-1=0時成立.

所以α=2，β=1y+1=α+β=3y=2，

當y=2時，m=1z=2x=2，

綜上所述：x=2，y=2，z=2.

注 因式分解法是處理不定方程整數解問題最常用的方法，指數型不定方程也不例外，但指數型不定方程中的式子能否進行因式分解，指數的性質是關鍵，本例中，利用同余的知識，選取合適的“模”，判斷出x，z為偶數，是解題的關鍵，當x，z為偶數時，借助平方差公式，對原方程移項后進行因式分解，從而解出方程的解.注意到，“模”的選擇非常重要，判斷指數是偶數，對于方程ax=b選“模”應遵循ax≡（-1）x（modm），b≡1（modm）的原則，即整數a對于模m應與-1同余，整數b對于模m應與1同余，根據（-1）x≡1（modm）得x為偶數.原方程3x+4y=5z，兩邊同時取模4、模3，可分別得x，z為偶數.

例2 是否存在非負整數a，b，使得|3a-2b|=41成立？

分析 帶絕對值的代數問題通常都要進行分類討論，本例也不例外，|3a-2b|=41顯然分兩種情況，即3a-2b=41與2b-3a=41;對這兩種情況分別進行說明即可.說明一個不定方程是否有解，從解法上說明最直接，如果有非負整數解，就能順利解出，如果無非負整數解，解答過程中自然顯現.從解法上講，3a與2b是差的形式，如果能判斷a，b均為偶數，則利用平方差公式分解即可解方程，當然，判斷不定方程無整數解，也可從方程兩邊整數的性質角度說明.

解 ①當3a-2b=41時，顯然

a≥4，b≥6，

因為3a≡0（mod3）;

2≡-1（mod3）2b≡（-1）b（mod3）;

所以3a-2b≡-（-1）b（mod3），

而41≡-1（mod3），

所以3a-2b≡-（-1）b≡-1（mod3），

所以b為偶數.

又因為3a≡（-1）a（mod4），

而b>2，

所以2b≡0（mod4），41≡1（mod4），

3a-2b≡（-1）a≡1（mod4），

所以a為偶數.

設a=2m，b=2n，

3a-2b=4132m-22n=41

（3m+2n）（3m-2n）=41

3m+2n=413m-2n=12n+1=40n無正整數解.

②當2b-3a=41時，顯然b≥6，a≥2，

對于此方程，采用等式兩邊整數性質不同的方式說明.

假設存在這樣的正整數a，b使得方程2b-3a=41成立.

則2b≡0（mod8），

而41≡1（mod8），

所以2b-3a≡1（mod8）3a≡-1≡7（mod8），

因為32≡1（mod8），

當a為偶數時，設a=2k（k為正整數），

32k≡1（mod8）;

當a為奇數時，設a=2k+1（k為正整數），

32k+1≡3（mod8），

所以，無論a取何正整數時，3a≡7（mod8）不能成立.

綜上所述，不存在非負整數a，b，使得|3a-2b|=41成立.

注 根據方程中數的特點選擇合適的模，判斷指數為偶數仍是解這類方程的有效思路，其基本過程是：選模——找偶——平方差因式分解——得解.思路清晰，過程簡潔.本例中①采用的就是這樣的過程.對于②，利用同余，說明等式兩邊對于模8余數不同，是說明不定方程無整數解常用的方法.

指數型不定方程根據方程的特點有很多種不同的解法，通過“選模找偶”是眾多解法中一種比較常規的思維方法，通過判斷指數為偶數的特點，利用平方差公式進行因式分解是解決問題的關鍵，看似復雜的指數型不定方程，實際解決過程中需要的數學知識并不復雜.平時的解題實踐中，只要我們肯鉆研、勤動腦、善提煉，總會探索出一些潛在的規律與方法，從而提升我們的解題技巧與解題能力.

練習

1.求所有的正整數x，y，z，使得2x+3y=z2.

2.求所有滿足方程8x+15y=17z的正整數解.

答案

1.x=4，y=2，z=5. 2.x=2，y=2，z=2.