任意兩實數的一個性質及巧用

孫紅藝民盟華陰綜合支部主委，政協委員，一級教師，現為城關中學副校長。10余篇論文在省、地刊物發表、獲獎，40余次受到校級、市級表彰獎勵，曾榮獲華陰市委、市政府十佳教育工作者，渭南市優秀教師，優秀教研員。

性質：任意兩實數a和b滿足

（a+b）2≥4ab（僅當a=b時等號成立）. （*）

（*）式的意義是，任意兩實數和的平方不小于其乘積的四倍.

證明 因為（a-b）2≥0，

所以a2+b2≥2ab，

左邊配方得

（a+b）2≥4ab.

對于多元問題，若能從條件直接找出或經過轉化后出現“兩實數和及它們的積”，通過構造不等式，可以方便快捷地解答一些相關問題，起到出奇制勝的效果.

例1 已知x，y和z滿足x+y=2，且xy=1+z2，求x，y的值.

解 因為x+y=2，

xy=1+z2，

所以由（*）知4≥4（1+z2），

所以z2≤0，

因為z2≥0，

所以z=0，

所以xy=1，

又x+y=2，

所以x=y=1.

例2 a，b，c為互不相等的的實數，且滿足關系式：

b2+c2=2a2+16a+14，bc=a2-4a-5，①②

求a的取值范圍.

解 由①得

（b+c）2=2bc+2a2+16a+14，③

把②代入③，得

（b+c）2=2（a2-4a-5）+2a2+16a+14

=4a2+8a+4，

由（*）知（b+c）2≥4bc，

即4a2+8a+4≥4a2-16a-20，

解得a≥-1.

例3 已知正整數a，b，c滿足1

解 由已知條件知

a+c=111-b，ac= b2，

由（*）知（111-b）2>4b2，

所以（111-b）2-4b2>0，

所以（111-b+2b）（111-b-2b）>0，

即（111+b）（111-3b）>0，

因為111+b>0，

所以111-3b>0，

所以b<37，

所以a<36，

因為b2=ac，

所以ac是小于372的完全平方數，

于是易得a=27，c=48，

此時b=36.

例4 正數a，b，c，x，y，z滿足a+x=b+y=c+z=k，求證：ax+by+cz

解 由（*）知 （a+x）2≥4ax，

即ax≤14（a+x）2=14k2，

同理有by≤14k2，cz≤14k2，

所以ax+by+cz

=14k2+14k2+14k2=34k2

例5 求方程x+2yx+y=4的正整數解.

解 方程可化為

x+y+yx+y=4，

令m=x+y，n=yx+y，

則m+n=4，

mn=y，

由（*）知16≥4y，

即y≤4，

由題意知y=1，2，3，4，分別代入原方程，只有當y=3時，x=6符合要求，

故x=6，y=3.

練習

1.△ABC的三邊a，b，c滿足b+c=8，bc=a2-12a+52，試問△ABC是什么三角形（按邊分類），并證明你的結論.

2.設實數a，b，c滿足a2-bc-8a+7=b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范圍.

答案

1.等腰三角形.

2.1≤a≤9.