例說中考中的翻折問題

江建華中學數學高級教師， 中國數學奧林匹克貳級教練員，湖北省中學數學省級骨干教師，黃石市中學數學學科帶頭人，發表多篇論文，曾主編《初三幾何完全解讀》等著作。

翻折問題既是中考命題的熱點問題，也是學生解題的難點問題，翻折問題實質上是圖形的軸對稱變換，解題時可以利用軸對稱圖形的性質，結合全等的判定與性質、相似的判定與性質、圓的性質、勾股定理和三角函數等知識進行求解.

1 三角形中的翻折

例1 圖1

如圖1，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D，E分別在AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點A的對應點F落在BC的延長線上，若FD平分∠EFB，則AD的長為.

（A）259.（B）258.

（C）157.（D）207.

圖2

解 如圖2，過點D作DH⊥BC于點H，

因為∠ACB=90°，

所以AB=BC2+AC2

=32+42

=5，

因為將△ADE沿DE翻折得△DEF，

所以AD=DF，∠A=∠DFE，

又因為FD平分∠EFB，

所以∠DFE=∠DFH，

所以∠DFH=∠A，

所以sin∠DFH=sin∠A=BCAB=35，

又因為sin∠DFH=DHDF，

所以DHDF=35，

設DH=3x，則有

DF=AD=5x，

所以BD=5-5x，

因為DH∥AC，

所以△BDH∽△BAC，

所以BDAB=DHAC，

所以5-5x5=3x4，

所以x=47，

所以AD=5x=207.

故選（D）.

2 矩形中的翻折

例2 圖3

如圖3所示，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，點E，F分別是矩形的邊AD，BC上的動點，將該紙片沿直線EF折疊使點B落在矩形邊AD上，對應點記為點G，點A落在M處，連接EF，BG，BE，EF與BG交于點N.則下列結論成立的是（）.

①BN=AB;

②當點G與點D重合時，EF=352;

③△GNF的面積S的取值范圍是94≤S≤72;

④當CF=52時，S△MEG=3134.

（A）①②. （B）③④.

（C）②③.（D）②④.

圖4

解 ①如圖4，因為

∠A=90°，

AB=3，

AD=BC=6，

所以BD=AB2+AD2

=32+62

=35，

所以3

由BN=12BG，可知BN的值是變化的，而AB=3是定值，

所以BN與AB不一定相等，故①錯誤;

②如圖4，當D，G重合時，因為四邊形ABCD是矩形，所以AD∥BC，

所以∠DEF=∠EFB，

由翻折的性質可知

FB=FG，∠EFB=∠EFG，

所以∠GEF=∠EFG，

所以GE=GF=BF，

因為GE∥BF，

所以四邊形BEGF是平行四邊形，

因為FB=FG，

所以四邊形BEGF是菱形，

所以BE=EG，

設BE=x，則有DE=x，

AE=AD-DE=6-x，

因為AB2+AE2=BE2，

所以32+（6-x）2=x2，

所以x=154，

即DE=154，

因為S菱形BEDF=DE·AB=12·BD·EF，

所以EF=2DE×ABBD=2×3×15435=352，

故②正確;圖5

③當點A，E重合時，如圖5，△GNF的面積最小，

最小值=14S正方形ABFG

=14×32=94，

當D，G重合時，如圖4，△GNF的面積最大，

最大值=14S菱形BFGE=14×154×3=4516，

所以94≤S△GNF≤4516，

故③錯誤;

④如圖3中，當CF=52時，

BF=BE=BC-CF=6-52=72，

GM=AB=3，

所以AE=EM=BE2-AB2

=722-32=132，

所以S△MEG=12·ME·GM

=12×132×3

=3134.

故④正確.

故選（D）.

3 圓弧的翻折

例3 圖6

如圖6，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點D，再將BD沿AB翻折交BC于點E，若BE=DE，設∠ABC=α，則α所在的范圍是（）

（A）21.9°<α<22.3°.

（B）22.3°<α<22.7°.

（C）22.7°<α<23.1°.

（D）23.1°<α<23.5°.

解 如圖7，連接AC，CD，DE.

設BDC所在的圓為⊙O1，BED所在的圓為⊙O2，

因為ED=EB，

所以ED=EB，

所以∠EDB=∠EBD=α，

由BC沿BC翻折交AB于點D，BD沿AB翻折交BC于點可知：BDC所在的圓⊙O1，BED所在的圓⊙O2與⊙O是三個等圓，在這三個等圓中，同一個圓周角∠ABC所對的三條弧分別為CD，DE，AC，

所以AC=CD=DE，

所以AC=CD=DE，

所以∠DCE=∠DEC=∠EDB+∠EBD=2α，

所以∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3α，

因為AB是⊙O的直徑，

所以∠ACB=90°，

所以∠CAB+∠ABC=90°，

所以3α+α=90°，

所以α=22.5°，

由題設選擇項可知（B）符合要求，

故選（B）.