探究多邊形的外角和

李榃

如圖，∠1、∠2、∠3分別是三角形ABC的三個(gè)外角，∠1、∠2、∠3、∠4分別是四邊形ABCD的四個(gè)外角，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分別是五邊形ABCDE的五個(gè)外角。設(shè)三角形ABC的三個(gè)外角和為W3，四邊形ABCD的四個(gè)外角和為W4，五邊形ABCDE的五個(gè)外角和為W5。

（1）求W3，W4，W5。

（2）一般地，設(shè)n邊形的n個(gè)外角和為Wn，試求Wn。

一、探究

（1）如圖，假設(shè)你站在A點(diǎn)，面向正東，那么經(jīng)過圖中的∠1對(duì)你來說意味著什么？

若你逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠1后，就與AB（箭頭所指）方向一致，繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠2后，就與BC（箭頭所指）方向一致，繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠3后，就與CA（箭頭所指）方向一致，并最終回到A點(diǎn)，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一周。

如圖，作AN∥BC，則∠2=∠BAN，∠3=∠MAN，因此，經(jīng)過上述逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，實(shí)質(zhì)是繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)了整整一圈，即W3=360°。

（2）按照（1）中的思路，不難發(fā)現(xiàn)W4，W5，Wn均為360°。

二、拓展

如圖丁，∠1、∠2、∠3、∠4分別是凹四邊形ABCD的四個(gè)外角;如圖戊，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分別是凹五邊形ABCDE的五個(gè)外角。試探究所有外角之間有何數(shù)量關(guān)系？

點(diǎn)撥：如圖丁，延長DC，交AB于點(diǎn)P，則∠3=∠BCP。

因?yàn)椤?=∠BCP+∠CPB=∠3+∠CPB，∠1+∠CPB+∠4+=360°，所以∠1+∠2+∠4-∠3=360°。

思考：就外角和而言，凹多邊形與凸多邊形有何區(qū)別呢？

當(dāng)旋轉(zhuǎn)的方向到凹角（如∠3）形成的頂點(diǎn)處時(shí)，角是順時(shí)針旋轉(zhuǎn);當(dāng)旋轉(zhuǎn)的方向到凸角（如∠1、∠2、∠4）形成的頂點(diǎn)處時(shí)，角是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的。從數(shù)學(xué)角度看，就是“正”與“負(fù)”的區(qū)別，即把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為“正角”，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為“負(fù)角”，由此可以得出結(jié)論：對(duì)于（凹或凸）多邊形而言，所有外角的代數(shù)和為360°。