例說“拼圖法”在初中數學解題中的應用

劉淑錦

【摘要】本文以九年級數學知識為例，分析拼圖法在解題內的應用，以解題形式呈現，旨在為初中九年級數學知識解題提供可靠參考意見.

【關鍵詞】拼圖法;數學解題;初中數學

所謂“拼圖法”，是指由于解決數學問題的需要，有意識地將幾個圖形拼在一起，然后根據拼圖前后圖形的面積（或周長、角度等）之間的關系解決問題.“拼圖法”不僅巧妙，而且為我們解決數學問題尋覓到一個全新的思路，下面分類說明“拼圖法”在解決初中數學問題中的應用.

1 圓的解題

問題1 在圖1△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，求△ABC外接圓半徑R？

問題2 在圖2圖形中，⊙O半徑是13，弦AB是24，AB的中點是M，P屬于圓上的一個動點，求PM最大值？

問題3 在圖3圖形中，AB、AC、弧BC是三條規劃路程，AB和AC的長度分別是6km、3km，∠BAC=60°，弧BC對應圓心角是60°，弧BC路邊要建立物資點P，而在AB、AC路邊需要建立E、F物資點，分別在弧BC、AB、AC上選取點P、E、F.為了向物資點進行運輸，就規劃了道路PE、EF、FP.為保證道路的便捷性、成本得到節約，就需要保證PE、EF、FP之間距離最短，求三者之間的最小值.

在第1小題中，解題思路是：根據垂徑定理進行分析.作出△ABC外接圓⊙O，OA是∠BAC的平分線，因此∠OAC=12∠BAC=60°，連接OC，這樣OC=OA，這時三角形OAC就是等邊三角形，這樣OC、OA、AC相等都是5.

第2個問題的思路是：OM+OP≥PM，根據點圓模型原理，當O、P、M這三點共線時，PM值最小，這時PM⊥AB，并且經過點O，PM就是PO和OM的和，即18.

在第3小題中，求的是三條線段和的最小值，一般來說，解決問題的策略是先利用軸對稱變換，然后再根據“兩點之間線段最短”，在共線的時候選擇等號.

解題的原理是作出兩次對稱，兩點之間線段是最短的，所以，本題中就可以假設弧BC上的一個點P就是所求的點，固定點P要在AB、AC上做出對稱點P′、P″，并連接兩個對稱點，分別交AB、AC于點E、F，連接PP′、PE、PP″，根據對稱性，PE=P′E，FP=FP″，AP′=AP=AP″，那么∠P′AP″=2∠BAC=120°，此時，PE+EF+FP=P′E+EF+FP″≥P′P″=3 AP′，當P′、E、F、P″共線時，P′P″就是最短的距離，長度是直接取決于AP′，即AP的長度.

根據上面的探究問題中，作出弧BC圓心點O，連接AO，和弧BC相交于P點，這樣PA中最短的一個點就是P點，PE+EF+FP≥3 AP=321 -9，因此PE+EF+FP最小值就是（321-9）千米.在這個問題中，將三角形的一個固定點放置在一個特定的圓心角弧上，使學生有一定的相似感.

2 三角形解題

我們知道，滿足“兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形”不一定全等，但是在某些特殊情況下全等.

例如 當其中一邊的對角是鈍角時，這兩個三角形全等，即滿足“兩邊及其中一邊的對角（鈍角）對應相等的兩個三角形”，如圖5，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，且∠B和∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.

本題若用正弦定理，證明非常簡單.即在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB=ABsinC.在△DEF中，由正弦定理，得DFsinE=DEsinF.由AC=DF，∠B=∠E，得ABsinC=DEsinF.而AB=DE，則sinC=sinF.顯然∠C和∠F都是銳角，則∠C=∠F.根據“角角邊”可知△ABC≌△DEF.

由于初中階段我們沒有學習正弦定理，因此需要另想他法.一個好的辦法是運用“拼圖法”.而且在運用“拼圖法”時，只要將相等的邊拼在一起即可證明.如圖6，將AC與DF拼在一起，使點A與點D重合，點C與點F重合，且使∠B與∠E分別在AC（或DF）的兩側.連接BE.由AB=DE，得∠1=∠2.又∠ABC=∠DEF，則∠ABC-∠1=∠DEF-∠2，即∠3=∠4.則BC=EF.根據“邊邊邊”可知△ABC≌△DEF.

上述證法是將鈍角所對的相等的邊AC與DF拼在一起，也可以將銳角所對的相等的邊AB與DE拼在一起.如圖7，將AB與DE拼在一起，使點A與點D重合，點B與點E重合，且使∠C與∠F分別在AB（或DE）的兩側.連接CF.證明過程留給讀者完成.事實上，滿足“兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形”，當其中一邊的對角是鈍角時，這兩個三角形全等，當其中一邊的對角是直角時，這兩個三角形也全等.證明之時，既可將斜邊拼在一起，也可將直角邊拼在一起.

3 一元二次方程式

已知一個長方形的長與寬的和為7，面積為10，求該長方形的長與寬的差的平方.本題若按常規方法，可設長方形的長為a，寬為b.

根據題意，得a+b=7，ab=10.而長與寬的差的平方為（a-b）2.要求（a-b）2的值，可將（a-b）2變形為含有a+b和ab的式子.即（a-b）2=a2+b2-2ab=（a2+b2+2ab）-4ab=（a+b）2-4ab=72-4×10=49-40=9.

除了上述解法，也可運用拼圖法巧解.將四個大小一樣的長方形按照圖8所示的方式拼在一起，正好拼成一個大正方形，這個大正方形的邊長正好是長方形的長與寬的和，它的中間是一個小正方形，其邊長正好是長方形的長與寬的差.要求長方形的長與寬的差的平方，只要求出小正方形的面積即可.

觀察圖8可以發現，大正方形的面積減去4個長方形的面積即為小正方形的面積.即S小正方形=S大正方形-4S長方形=72-4×10=49-40=9.所以長方形的長與寬的差的平方為9.這種解法顯然是對常規解法的創新，展現了用“拼圖法”解決數學問題的魅力.

4 結語

從以上幾例不難看出，運用“拼圖法”解決數學問題，確實可以起到化難為易、化繁為簡、事半功倍之效，展現了用“拼圖法”解決數學問題的魅力.希望大家認真領會“拼圖法”，并在解決數學問題時嘗試應用“拼圖法”，讓“拼圖法”成為我們解決數學問題的一項技能.