例談待定系數法在解答題中的運用

馬啟榮

我們在確定兩個變量間的函數關系時，一般是先用未知數表示關于變量的關系式，然后再根據其它條件來確定這些未知數的方法叫做待定系數法.它其實質是方程思想的體現，即通過賦值建立方程（或方程組），然后再解方程（或方程組）求得未知系數.那么什么情況下可以采用待定系數法求解問題呢？主要就是考察待求解的數學問題中，是否含有某個表達式恒成立的情況，如果具有，就應該用待定系數法試試.下面根據幾個特殊題目類型舉例介紹待定系數法的巧妙運用，供讀者朋友參考.

1 求函數表達式

例1 已知f（x）是二次函數，且有f（-1）=0，且對任意x∈R都有x≤f（x）≤12（x2+1）成立，求函數f（x）的表達式.

解析 由于f（x）是二次函數，可設f（x）=ax2+bx+c，又對任意x∈R都有x≤f（x）≤12（x2+1）成立，令x=1得1≤f（1）≤1，故只有f（1）=1，即a+b+c=1;又f（-1）=0，即a-b+c=0.聯立得a+c=12，b=12;則f（x）=ax2+12x+12-a，又f（x）≥x恒成立，則f（x）-x≥0即ax2-12x+12-a≥0恒成立，所以a>0，且△=（12）2-4a（12-a）≤0，即（a-14）2≤0，故a=14，b=12，c=14，所以f（x）=14x2+12x+14.

評注 根據題意建立含參數的二次函數表達式，然后利用特殊值進行驗證獲得了f（1）=1這一隱含信息，得到了關于系數a、b、c的一個關系式，為后續成功解題奠定了堅實基礎.

2 求三角函數解析式

例2 若函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，-π2<φ<π2）的最小值是-2，周期為2π3，且它的圖象經過點（0，-2），求此函數的解析式.

解析 由于函數的最小值是-2，則A=|-2|=2.又函數的周期是2π3，則有2π3=2πω，解得ω=3.而函數的圖象經過點（0，-2），將x=0，y=-2及A=2代入y=Asin（ωx+φ）得-2=2sinφ，sinφ=-22.由于-π2<φ<π2，于是φ= -π4.故所求函數的解析式是： y=2sin（3x-π4）.

評注 若已知函數y= Asin（ωx+φ）的部分圖象或給出函數圖象的有關特征來求函數解析式，只需確定待定字母A、ω、φ的值就行了.一般地是根據條件先求出A、ω，然后再用特殊點代入求出φ.

3 求不等式中的參數范圍

例3 已知二次函數f（x）=ax2+bx，若滿足不等式1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，試求f（-2）的取值范圍.

解析 在已知條件中的兩個不等式都是關于二次函數系數a、b雙向不等式，而待求的f（-2）=4a-2b也是與系數a、b相關，所以整體地處理a、b的關系是合理的思考.由1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4得：1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，且f（-2）=4a-2b，于是可設4a-2b=m（a-b）+n（a+b），則m+n=4-m+n=-2m=3n=1，即f（-2）=4a-2b=3（a-b）+（a+b），將上述兩個關于a-b、a+b的不等式整體代入并相加可得5≤f（-2） ≤10.

評注 此解法靈活地運用了待定系數法，成功地使用f（1）和f（-1）整體地表示出f（-2），這樣就避免了用不等式相加導致范圍擴大的錯誤.

4 求數列的通項公式

例4 設數列{an}滿足a1=1，an=12an-1+2n-1 （n≥2），求通項公式an.

解析 設bn=an+An+B，則an=bn-An-B，an-1=bn-1-A（n-1）-B，代入已知式得bn-An-B=12[bn-1-A（n-1）-B]+2n-1，即bn=12bn-1+（12A+2）n+（12A+12B-1），令12A+2=0且12A+12B-1=0，得A=-4，B=6，所以bn=12bn-1且bn=an-4n+6，當n=1時，b1=a1-4×1+6=3，故{bn}是首項為3，公比為12的等比數列，即bn=3·（12）n-1，由此得an=3·（12）n-1+4n-6.

評注 通過有目標的構造新的數列，引入待定字母系數，然后經過變形與對比建立起含待定字母的方程組，再求出相應字母系數的值，使問題迎刃而解.

5 確定復數的表達式

例5 已知x，y為共軛復數，且有（x+y）2-3xy=4-6i，試求滿足條件的復數x，y.

解析 設x=a+bi（a，b∈R），依題意有y=a-bi，則x+y =2a，xy=a2+b2，代入已知式得，4a2-3（a2+b2）i=4-6i，根據復數相等的充要條件得4a2=4-3（a2+b2）=-6，解方程組得a=1b=1，或a=1b=1或a=1b=-1或a=-1b=1或a=-1b=-1，所以滿足條件的復數x，y為：x=1+iy=1-i或x=1-iy=1+i或x=-1+iy=-1-i或x=-1-iy=-1+i.

點評 在復數問題中，若含有等式的條件，并且未知數是復數，必須通過設復數的代數式并代入，再分離出等式中的實部和虛部，利用復數相等的充要條件建立等式求解.

6 求導數題中的參數范圍

例6 已知函數f（x）=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個極值點.若當x∈[1，3]時，f（x）-a2>23恒成立，求a的取值范圍.

解析 （Ⅰ）由于f′（x）=x2-2bx+2.因為x=2是f（x）的一個極值點，所以x=2是方程x2-2bx+2=0的一個根，解得b=32.所以f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2），當x∈（1，2）時f′（x）<0，x∈（2，3）時f′（x）<0，所以f（x）在（1，2）上單調遞減，f（x）在（2，3）上單調遞增.所以f（2）是f（x）在區間[1，3]上的最小值，且 （-1，3）.若當x∈[1，3]時，要使f（x）-a>23恒成立，只需f（2）>a2+23， 即23+a>a2+23，解得 0

評注 本題解決的關鍵是求出所給函數的最小值，而題中給出的函數的單調性、函數的極值點和極值、函數的最值等條件就是建立含參數方程，求出參數的重要依據.

上面各例介紹了待定系數法在解決幾個數學分支中的應用，只是拋磚引玉.運用待定系數法解題的基本步驟是：首先，通過設未知參數確定所求問題的解析式;然后，根據其他條件建立方程或方程組;最后，解方程或方程組求出系數，或利用其關系整體運算直接消去系數，從而使問題得到解決.