小議初中數學開放題的解題技巧

陳美娟

【摘要】為了進一步提升學生運用認知的能力，促進他們的素養生長.教師通常會設置一些開放題給學生思維以鍛煉的機會，讓他們獲得更多的成長.開放題往往因為問題本身的設置不是固定的，題目的結論、解法也不是固定的，通常會給學生的解題帶來一定的麻煩.教師要指導學生摸索開放題的解題規律，進而更好地促進數學學科素養的成長.

【關鍵詞】初中數學;開放題型、解題技巧

開放題改變了傳統的題目設置的方式，給學生更多思維的空間，也給他們更多提升的可能，進而更能激發學生的潛能.教師在指導學生如何求解開放題型時，首先要引導學生分析開放題型，將它們分為不同的類別，進而提取一般的解題方式.

1 條件開放題的求解

條件開放題就是教師在給學生設置解題任務時，給他們設置的題目在條件上是不唯一的.對著預先設置的結論，學生需要逆向思維去找尋一些關聯的條件，讓條件與結論能對接起來.

例如 以人教版初中數學八年級上冊《全等三角形》為例，教師設置這樣的題目，如圖1，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列條件“ AB=DE;∠B=∠E; EF=BC;EF∥BC”中，哪一個是不能判定△ABC≌△DEF？

就結論而言，本題其實需要學生掌握三角形全等的判定定理.因此教師可以先引導學生敘述普通的兩個三角形全等的四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，以及直角三角形中的HL定理.接著教師問，題目中出現的AAA、SSA，能證明三角形全等嗎.顯然是不能得的，他們需要假想一個條件，教師給學生四個選項，他們可以采取排除法進行分析，進而解題，也就是說他們在這樣的開放題型中逐步地理解、掌握三角形全等的判定方法.

學生先是假設增加AB=DE這一條件.他們從AB∥DE，AC∥DF這兩個條件出發，得出∠A+∠AGD=180°，∠AGD+∠D=180°，∠A=∠D.同時又因為∠A=∠D，AC=DF，AB=DE，他們運用SAS判定得出△ABC≌△DEF.接著他們增加∠B=∠E這一條件，因為∠A=∠D，AC=DF，∠B=∠E，他們運用AAS定理，判定出△ABC≌△DEF.他們在增設EF=BC時，發現要證明全等比較困難.因此他們想到增設EF∥BC這一條件，如圖2所示，學生延長ED交BC于點O，因為EF∥BC，所以∠E=∠EOC;又因為AB∥DE，所以∠B=∠EOC，∠E=∠B;他們再結合∠A=∠D，AC=DF，再運用AAS定理之后，他們推出△ABC≌△DEF.最后他們發現第三個條件用不起來.可見基于條件的開放題涉及的知識點較多，需要學生能夠運用結論，找尋可以添加的條件.教師需要引導學生展開深層次的剖析，讓他們體會知識點的內在關聯性.顯而易見，對條件開放題的求解學生需要具有一定的開放逆向推理能力，進而優化他們的解題方法.

2 結論開放題的求解

結論開放性問題其實是符合學生的認知規律的，有學生可能會由條件得到一些顯性的結論，有學生會在不同條件組合與疊加下得出深刻一點的結論.顯然地，這種結論開放題需要學生運用發散性思維能力，注重問題思考問題的維度，將給出的條件與所學知識點充分地糅合，進而促成問題的解決.

例如 以人教初中數學為例，在復習矩形的性質、全等三角形的判定與性質、菱形的判定，三角形中位線定理等方面認知時，教師先是設置這樣的題目，如圖3所示：

在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點.能不能從圖中證明出一組全等的三角形;能不能判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，同時證明你的結論.

顯然地這是結論性開放題.學生先要將題目中的明顯的條件利用起來，他們從矩形的條件出發，想到了相關的直角三角形;他們再從M是邊AD的中點，他們想到了對應的相等的線段;進而他們猜想ABM≌△DCM.也就是說，他們由矩形的性質得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中點，根據SAS定理證明出，△ABM≌△DCM.對于第二個需要猜想的結論，他們先是想特殊的四邊形有哪些，他們將平行四邊形、長方形、正方形、菱形、梯形等列出來.接著他們決定將第一問得出的結論利用起來，他們從這個結論得出BM=CM.他們想到了這樣的性質，四邊都相等的四邊形是菱形，因此他們推斷這個特殊的四邊形是菱形.學生是這樣證明的，由1得：△ABM≌△DCM，進而得出，BM=CM;再由E、F分別是線段BM、CM的中點，得出ME=BE=12BM，MF=CF=12CM，ME=MF.同時又因為

N是BC的中點，所以EN、FN是△BCM的中位線，EN=12CM，FN=12BM，進而推斷出，EN=FN=ME=MF.最終，學生得出四邊形MENF是菱形.

3 解法開放題的求解

當學生按照通常可行的解題思路，結合可以挖掘的條件有條不紊地推算，他們會發現參照結論與所提供的條件之間存在著不同的解題思路.

例如 以人教版初中數學初二年級上冊《三角形內角和》這一章節為例，教師設置這樣的題目，如圖4，已知AB∥CD.求證： ∠D+∠E+∠B=360°

有學生先是由360°想到以E為頂點的周角恰好是360.他們想到尋找以E為頂點的兩個角，使它們分別等于∠B和∠D.于是他們又想到根據平行線的性質定理，過E點作一條直線EF，使EF∥AB，進而推的∠BEF=∠B.再有已知條件AB∥CD，他們推得EF∥CD，進而推出∠FED=∠D.教師問學生能不能圍繞∠D+∠E+∠B=360°.沿著教師的提問，學生將這三個角分成兩組，使每組角的和為180°，他們作EF∥AB，使圖中出現兩組同旁內角如圖5所示，他們過點E作EF∥AB，兩直線平行，同旁內角互補所以 ∠B+∠FEB=180°.又因為AB∥CD，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，所以EF∥CD，所以∠D+∠FED=180°，再由等式性質推出∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°，即，∠D+∠DEB+∠B=360°.

學生在思考中又想到這樣的維度，連接DB，如圖6所示，將結論直接分為△DBE的內角和兩直線平行下兩個同旁內角∠CDB與∠ABD的和.三角形的內角和定理與同旁內角互補定理相組合，他們得出最后的結論.教師追問能不能再想一個方法來.學生想到能不能作一個平行線將同旁內角互補定理如圖6一樣利用起來，他們想到過點B作BC∥DE，如圖7所示，所以∠1+∠E=180°， ∠3+∠D=180°，所以∠1+∠E+∠3+∠D=360°.他們又想到AB∥CD這一條件，進而推出

∠2=∠3，∠1+∠E+∠2+∠D=360°，所以結論成立.

4 結語

在教學中，教師應當改變題目設置的方式，盡量給學生設置開放性題目;教師不但要注重他們的基礎理論知識，更要注重他們的思維能力以及運用知識的能力.一言以蔽之，教師要引導學生建構起開放題型的思路，形成解題思維，進而為他們的后續的數學學習奠定扎實的基礎.

參考文獻：

[1] 張芳.新課改下初中數學開放式教學策略研究[J].家長.2020，（17）.

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