例談直角三角形解題策略

殷曉晴

【摘要】直角三角形問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，涉及到勾股定理、直角三角形的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)等知識(shí)，解答這類型問(wèn)題不僅需要熟練掌握三角函數(shù)的定義和特殊三角函數(shù)的角度值，還要學(xué)會(huì)將其靈活運(yùn)用，放入直角三角形中靈活求解.

【關(guān)鍵詞】直角三角形;解題策略;初中數(shù)學(xué)

1 利用特殊的三角函數(shù)值

利用特殊的三角函數(shù)值是解答直角三角形問(wèn)題的有效手段，特殊的三角函數(shù)值，一般值在0、30°、45°、60°、90°、180°角下的正余弦值（例如sin30°=12、sin45°= 22等），利用兩角和與差的三角函數(shù)公式，可以求出一些其他角度或?qū)?yīng)的三角函數(shù)值.運(yùn)用特殊的三角函數(shù)值解題時(shí)，具體的解題步驟為：（1）確定特殊角，根據(jù)題意將對(duì)應(yīng)的角度值放入一個(gè)直角三角形中，確定特殊角的角度;（2）計(jì)算求解，利用題設(shè)條件中已知的特殊角求解對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，或已知某一正余弦函數(shù)的三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)的角度大小，或直接利用特殊的三角函數(shù)計(jì)算所求的值即可.

例題1 已知α為銳角，且cos90°-α=12，則α的度數(shù)為（）

（A）30°. （B）60°. （C）45°. （D）75°.

剖析 本題是典型的利用三角函數(shù)特殊值求解的問(wèn)題，直接利用特殊的三角函數(shù)值cos60°=12計(jì)算求解，依據(jù)cos90°-α=12和cos60°=12，解得α=30°.

解析 由題意可知，cos90°-α=12，

又因?yàn)閏os60°=12，

所以90°-α=60°，

所以α=30°.

例題2 2sin30°的值等于（）

（A）1.（B） 2.（C） 3.（D）2.

剖析 本題直接利用sin30°=12計(jì)算求解即可.

解析 因?yàn)閟in30°=12，

所以2sin30°=2×12=1，正確答案為A.

2 利用三角函數(shù)的定義

三角函數(shù)的定義也是解直角三角形的常用方法.三角函數(shù)的定義，一般指在Rt△ABC中，當(dāng)∠C=90°時(shí)，正弦函數(shù)sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，余弦函數(shù)cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc，正切函數(shù)tanA=∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊=ab，余切函數(shù)cotA=∠A的鄰邊∠A的對(duì)邊=ba.運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題時(shí)，具體的解題步驟為：（1）確定三角形的邊長(zhǎng)或角度值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，確定Rt△ABC中已知的邊的長(zhǎng)度，已知的角的度數(shù);（2）計(jì)算求解，利用三角函數(shù)的定義sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac等，結(jié)合題設(shè)條件中已知的邊長(zhǎng)或角的大小列式計(jì)算，使問(wèn)題得解.

例題3 已知△ABC中，AC=4、BC=3、AB=5，則sinA=（）

（A）35.（B）45.（C）53.（D）34.

剖析 本題考查學(xué)生判定直角三角形和銳角的三角函數(shù)值，根據(jù)AC=4、BC=3、AB=5可知，△ABC是一個(gè)以AB為斜邊的直角三角形，然后根據(jù)sinA的定義BCAB解得sinA=35.

解析 由題意可知，AC=4、BC=3、AB=5，

由勾股定理的逆定理可知：AB2=AC2+BC2，

所以△ABC是一個(gè)以AB為斜邊的直角三角形，

因?yàn)樵赗t△ABC中：sinA=BCAB，

所以sinA=35.

3 利用解直角三角形

解直角三角形的知識(shí)一般用于解決實(shí)際問(wèn)題，在直角三角形中，除了直角外，還有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形.運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解題時(shí)，具體的解題步驟為：（1）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，結(jié)合題設(shè)信息將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般是畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題;（2）解直角三角形，根據(jù)已知條件，利用相應(yīng)的銳角三角函數(shù)解直角三角形;（3）計(jì)算求解，結(jié)合題意解得對(duì)應(yīng)的問(wèn)題答案即可.

例題4 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=12，則CD∶DB=.

剖析 本題是典型的解三角形問(wèn)題，首先假設(shè)AC=x，然后放在Rt△ABC中證明DE=AE，再假設(shè)DE=a，利用DE和AC的關(guān)系解得x=32a，最后分別表示出CD、CB的值繼而求解.

解析 由題意可知，在Rt△ABC中，∠CAB=90，tanB=12，

假設(shè)AC=x，

所以AB=2x、BC= 5x，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

因?yàn)锳D是∠CAB的平分線，

所以DE=AE，

假設(shè)DE=a，因?yàn)閠anB=DEBE=12，

所以AE=a、BE=2a、DB= 5a，

所以3a=2x，

解之得x=32a，

所以CB=3 52a，CD=3 52a- 5a= 52a，

所以CD∶DB= 52a∶ 5a=1∶2.

例題5 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且AE∶EB=4∶1，EF⊥AC于F，則tan∠CFB的值等于（）

（A） 33. （B）2 33. （C）5 33. （D）5 3.

剖析 解答本題的關(guān)鍵在于用一個(gè)未知數(shù)表示出兩個(gè)相關(guān)的量，相比較約掉公共的未知數(shù)，即可順利求解.首先假設(shè)BE=x、AE=4x，利用幾何關(guān)系分別表示出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)的值，再利用tan∠CFB=BCFC求解.

解析 假設(shè)BE=x，AE=4x，

則AB=5x、BC=2.5x、EF=2x、AF=2 3x，

因?yàn)锳FFC=AEBE，

所以FC= 32x，

所以tan∠CFB=BCFC=5 33.