初中數學解題思路舉例

朱建軍

【摘要】解決數學問題，除必須掌握有關數學內容的基本知識外，還必須掌握一定的解題思路與技巧。本文通過具體舉例的方式闡述初中數學解題思路，以供廣大同行參考。

【關鍵詞】初中數學;解題思路;因式分解

例1 若x3+4x2-7x+m有一個因式是x+1，求m的值并因式分解.

解

方法1 設另一個因式為x2+ax+m，

（x+1）（x2+ax+m）=x3+（a+1）x2+（m+a）x+m，所以a+1=4，m+a=-7，所以a=3，m=-10，所以x3+4x2-7x-10=（x+1）（x2+3x-10）=（x+1）（x-2）（x+5）.

方法2 令x+1=0得x=-1，

代入x3+4x2-7x+m=0，

得 -1+4+7+m=0，m=-10，

x3+4x2-7x-10=x2（x+1）+3x（x+1）-10（x+1）=（x+1）（x2+3x-10）=（x+1）（x-2）（x+5）.

例2 如圖1，在△ABC中，D為BC上一點，已知AD平分∠BAC.求證：ABAC=BDCD.

解

方法1 過點D作DE∥AC交AB于點E，

所以BEAE=BDCD，BEAB，BEAB=DEAC，

所以BEDE=ABAC，

因為AD平分∠BAC，

所以∠BAD=∠CAD，

因為DE∥AC，

所以∠CAD=∠ADE，

所以∠ADE=∠BAD，

所以DE=AE，

所以BEAE=ABAC，

所以ABAC=BDCD，

方法2 過點D作DE⊥AB于點E ，DF⊥AC于點F，過點A作AG⊥BC于點G.

因為AD平分∠BAC，所以DE=DF，

因為S△ABD=12AB×DE=12BD×AG，

S△ACD=12AC×DE=12CD×AG，

所以S△ABDS△ACD=ABAC=BDCD.

方法3 過點B作BE∥AC交AD延長線于點E.

因為BE∥AC所以△BDE∽△CDA，

∠E=∠CAD，

所以BDCD=DEAD=BEAC，

因為AD平分∠BAC，

所以∠CAD=∠BAD，

所以∠E=∠BAD，

所以AB=BE，

所以BDCD=ABAC.

例3 如圖3，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=nx（n≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（-2，3），點B的坐標為（4，m）.1求該反比例函數和一次函數的解析式;2連接OB，求△AOB 的面積;3在x軸上是否存在點P，使△APC是直角三角形？若存在，求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

解 1將A（-2，3）代入y=nx，

得m=-2×3=-6，所以反比例函數的解析式為y=-6x;將B（4，m）代入y=-6x，得4m=-6，

解得n=-1.5，所以B（4，-1.5），將A（-2，3）和B（4，-1.5）分別代入

y=kx+b（k≠0），得-2k+b=34k+b=-1.5，

解得k=-34b=32，所以所求的一次函數的解析式為

y=-34x+32.2當y=0時，-34x+32=0，

解得 x=2，所以C（2，0），所以S△AOB=12OC×|yA-yB|

=12×2×92=92.3存在.過A點作AP1⊥x軸于P1，AP2⊥AC交x軸于P2，如圖4，設P點坐標為（a，0）.

①當∠APC=90°時，

P1為（-2，0）.

②當∠PAC=90°時

AP2+AC2=PC2，即（a+2）2+32+42+32=（a-2）2，

解得a=-174，

所以P2點的坐標為（-174，0），

所以滿足條件的P點坐標為（-2，0）、（-174，0）.