一元二次方程實際應用中考熱點問題

彭惠

【摘要】 列一元二次方程求解應用題是中考命題熱點之一，列一元二次方程解應用題就是把實際問題抽象成數學問題，然后通過對數學問題的解決而獲得對實際問題的解決.

【關鍵詞】 平均變化率;面積;利潤;比賽;傳播

以實際問題為背景的題目，能夠培養我們利用數學知識解決實際問題的能力，突出體現了數學在現實生活中的應用價值，這一點在2021年各地中考試卷中方面表現得更加搶眼. 今從2021年各地中考中選取有關一元二次方程實際應用的問題說明之.

1 平均變化率問題

例1 隨著生產技術的進步，某制藥廠生產成本逐年下降.兩年前生產一噸藥的成本是5000元，現在生產一噸藥的成本是4050元.設生產成本的年平均下降率為x，下面所列方程正確的是（）

（A）5000（1+x）2=4050.

（B）4050（1+x）2=5000.

（C）5000（1-x）2=4050.

（D）4050（1-x）2=5000.

分析 等量關系為：2年前的生產成本×（1-下降率）2=現在的生產成本，把相關數值代入計算即可.

解 設這種藥品成本的年平均下降率是x，根據題意得：

5000（1-x）2=4050，

故選（C）.

例2 “雜交水稻之父”袁隆平先生所率領的科研團隊在增產攻堅第一階段實現水稻畝產量700公斤的目標，第三階段實現水稻畝產量1008公斤的目標.

（1）如果第二階段、第三階段畝產量的增長率相同，求畝產量的平均增長率;

（2）按照（1）中畝產量增長率，科研團隊期望第四階段水稻畝產量達到1200公斤，請通過計算說明他們的目標能否實現.

分析 （1）設畝產量的平均增長率為x，根據第三階段水稻畝產量=第一階段水稻畝產量×（1+增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論;

（2）利用第四階段水稻畝產量=第三階段水稻畝產量×（1+增長率），可求出第四階段水稻畝產量，將其與1200公斤比較后即可得出結論.

解 （1）設畝產量的平均增長率為x，

依題意得700（1+x）2=1008，

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）.

故畝產量的平均增長率為20%.

（2）1008×（1+20%）=1209.6（公斤）.

因為1209.6>1200，

所以他們的目標能實現.

2 幾何圖形面積問題

例3 圖1

《九章算術》被尊為古代數學“群經之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？如圖1，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺，問圓形木材的直徑是多少？（1尺=10寸）

答：圓材直徑寸.

分析 過圓心O作OC⊥AB于點C，延長OC交圓于點D，則CD=1寸，AC=BC=12AB，連接OA，設圓的半徑為x，在Rt△OAC中，利用勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進而直徑可求.

解 過圓心O作OC⊥AB于點C，延長OC交圓于點D，連接OA，如圖.

因為OC⊥AB，

所以AC=BC=12AB，AD=BD.

則CD=1寸，AC=BC=12AB=5寸.

設圓的半徑為x寸，則OC=（x-1）寸.

在Rt△OAC中，由勾股定理得

52+（x-1）2=x2，

解得x=13.

所以圓材直徑為2×13=26（寸）.

3 市場銷售利潤問題

例4 直播購物逐漸走進了人們的生活.某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件.通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件.

（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？

（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元.為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？

分析 （1）根據日利潤=每件利潤×日銷售量，可求出售價為60元時的原利潤，設售價應定為x元，則每件的利潤為（x-40）元，日銷售量為20+10（60-x）5=（140-2x）件，根據日利潤=每件利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論;

（2）設該商品需要打a折銷售，根據銷售價格不超過50元，列出不等式求解即可.

解 （1）設售價應定為x元，則每件的利潤為（x-40）元，日銷售量為20+10（60-x）5=（140-2x）件，依題意，得

（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，

整理，得x2-110x+3000=0，

解得x1=50，x2=60（舍去）.

故售價應定為50元;

（2）該商品需要打a折銷售，

由題意，得62.5×a10≤50，

解得a≤8，

故該商品至少需打8折銷售.

4 比賽類問題

例5 某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環形式（每兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則八年級班級的個數為（）

（A） 5. （B） 6. （C） 7. （D） 8.

分析 設八年級有x個班，根據“各班均組隊參賽賽制為單循環形式，且共需安排15場比賽”，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

解 設八年級有x個班，依題意得

12x（x-1）=15，

整理得x2-x-30=0，

解得x1=6，x2=-5（不合題意，舍去）.

故選（B）.

5 傳播問題

例6 有一個人患了流行性感冒，經過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數是（）

（A）14.（B）11.（C）10.（D）9.

分析 患流行性感冒的人傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數中.設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程1+x+x（1+x）=144，解方程即可求解.

解 設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題意得

1+x+x（1+x）=144，

即（1+x）2=144，

解方程得x1=11，x2=-13（舍去），

故選（B）.

6 其他類問題

例7 圖2

2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖2所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最小數（請用方程知識解答）.

分析 設這個最小數為x，則最大數為（x+8），根據最小數與最大數的乘積為65，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

解 設這個最小數為x，則最大數為（x+8），

依題意得x（x+8）=65，

整理得x2+8x-65=0，

解得x1=5，x2=-13（不合題意，舍去）.

故這個最小數為5.