基于數形結合思維的高中數學解題探究

鞠淑敏

【摘?要】??數形結合思想是高中最常見的數學思想之一，能夠幫助學生更快速且更加準確地解決一些數量關系，甚至直接算出題目的答案.之所以數形結合的方法會如此有效，是因為“形”與“數”的結合，讓題目的解題邏輯變得更加清晰.數形結合在高中數學的集合、函數、數列、不等式、向量、解析幾何、復數等方面都有應用.本文主要從數形結合思維在方程式、函數、三角函數和不等式等方面進行舉例說明.

【關鍵詞】??數形結合;高中數學;解題能力

1?數形結合思維在方程式中的解題探究

例1???方程2a?2x?2+2ax+1-a?2=0的兩個根在?-1，1?之內，求a的取值范圍.

解???由題意可知a?2≠0，根據已知方程繪制二次函數f（x）=2a?2x?2+2ax+1-a?2草圖（如圖1所示），從圖中可知，拋物線與x軸的交點在（-1， 1）之內，要滿足條件：f（-1）=?（a-1）??2>0，f（1）=?（a+1）?2?>0，Δ=8a?2（a?2-?1?2?）≥0，從而解得a的取值范圍為a≤-??2??2?或a≥??2??2?，

且a≠±1.

2?數形結合思維在函數中的解題探究

例2???對a，b∈?R?，

記?max?{a，b}=?a，（a≥b）b，（a

則f（x）=max{|x+1|，x?2-2x+?9?4?}（??）

（?A?）有最大值?3?2?，無最小值.

（?B?）有最大值?1?2?，無最小值.

（?C?）有最小值?3?2?，無最大值.

（?D?）有最小值?1?2?，無最大值.

解???由題意可知，此題是利用數形結合思想求函數的最值.

函數f（x）=max{|x+1|，x?2-2x+?9?4?}是指兩函數y=|x+1|與y=x?2-2x+?9?4?在同一個x時取函數值較大的那一個函數值，在同一平面直角坐標系中分別作出兩函數的圖象，如圖2所示.兩函數的圖象在y軸右側有兩個交點，f（x）的圖象為圖中實線部分所示，令

x+1=x?2-2x+?9?4?，解得x?1=?1?2?，x?2=?5?2?，由圖可知，當x?1=?1?2?時，f（x）有最小值f（?1?2?）=?3?2?，因此，選（?C?）.

3?數形結合思維在三角函數中的解題探究

例3???證明三角函數不等式.設α為銳角，求證：1

證明???如圖3所示，在平面直角坐標系中建立一個單位圓，并設銳角α的終邊為OP，過點P做PQ⊥x軸于Q，由三角函數的定義可知，?sin?α=QP，?cos?α=OQ在銳角ΔOPQ中，有QP+OQ>OP，即?sin?α+?cos?α>1.（1）

另一方面，設單位圓與x的正半軸、y軸的正半軸的交點分別為A、B.由圖可知，四邊形OAPB被扇形AOB覆蓋，所以S??OAPB?

過P作PR⊥y軸于R，

則S??ΔOPB?+S??ΔOAP?

即?1?2?OB·PR+?1?2?OA·PQ

又?OA?=?OB?=1，?PR?=?OQ?=?cos?α，?PQ?=?sin?α，

所以（2）可以化為?1?2??cos?α+?1?2??sin?α

即?sin?α+?cos?α

綜合（1）（3）可知，1

例4???對于給出函數

y=A?sin?（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|

的圖象如圖4所示，求該函數的解析式.

分析???此題是利用三角函數圖象求解析式.由圖4可知，-2≤y≤2，所以A=2，于是可設y=2?sin?（ωx+φ），因為y=f（x）的圖象過點P（?-?7?π??12?，0?、Q?0，1?，

所以有2?sin?（-?7?π??12?ω+φ）=0且2?sin?φ=1，即?sin?φ=?1?2?，又?φ?

所以，所求函數的解析式為y=2?sin?（2x+??π??6?）.

4?結語

數形結合思維在所有數學知識中都有體現，但高中數學教材的編寫是以傳授數學理論知識為重點，其中蘊含的數形結合思想需要和老師同學一起探索發現.學生需要有意識培養自己的數形幾何思維，在解題過程中抓住題目關鍵信息，提高解題能力.

參考文獻：

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