初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)常見最值問題分類探究

崔莉

【摘要】二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，是各地中考試卷中的必考內(nèi)容，受到了教師與學(xué)生們的共同重視.在考試中對二次函數(shù)知識的考察較為靈活，尤其是在對二次函數(shù)最值的考察，形式更加多變，計算也更加復(fù)雜，成為學(xué)生失分的重災(zāi)區(qū).本文，系統(tǒng)性地總結(jié)歸納二次函數(shù)最值考察的相關(guān)題型與解題方法，對于學(xué)生而言，具有十分重要的意義[1].

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);最值問題;解題方法

1 定軸定區(qū)間類

定軸、定區(qū)間作為二次函數(shù)最值問題考察中最為簡單的類型，也是考題中最為常見的類型，學(xué)生在解答這類問題時，僅僅需要根據(jù)題目信息求得相應(yīng)的函數(shù)解析式，而后根據(jù)解析式畫出相應(yīng)的圖形，既可以得到最終的答案.在一些較為復(fù)雜的題目中不會直接給出相應(yīng)的解析式，此時就需要學(xué)生根據(jù)題意進行計算[2].

例1 已知二次函數(shù) y=x2+bx+c經(jīng)過點A（7，0）以及坐標(biāo)原點，現(xiàn)有一條直線AB，經(jīng)過y軸（0，-7），且線上有一動點C（x，y），1

（A）有最大值9.（B）有最小值9.

（C）有最大值8.（D）有最小值8.

解 對于本題而言，雖然沒有直接給出函數(shù)解析式，但是通過題目中給出的信息及圖象經(jīng)過的2個點，可以得到函數(shù)解析式中的b、c值，而后便可以根據(jù)解析式畫出相應(yīng)的圖形，并將直線AB按照題意在圖形上畫出，尋找CD的長度與自變量之間的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系式便可得到最值的大小.

因為函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過原點和A點，代入可得c=0，b= -7，即二次函數(shù)的表達式為y=x2-7x.

因直線AB經(jīng)過點（0，-7）A（7，0），可以設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入后得到k=1，b-7，即直線AB的表達式為y=x-7.

因此，C（x，x-7），D（x，x2-7x）.

因為1

同時，此函數(shù)的對稱軸為直線x=4，根據(jù)題意，動點C的x值范圍為1

2 定區(qū)間動軸類

定區(qū)間動軸類是考試中比較常見的問題，在面對這樣的題目時，就需要根據(jù)實際的問題進行分類討論[3].在這類題型中因為二次函數(shù)對稱軸存在不確定性，導(dǎo)致軸的位置可以在給定區(qū)間的左側(cè)、中間及右側(cè)三種情況，而當(dāng)對稱軸在區(qū)間范圍內(nèi)時，其頂點往往是所求的最值.

例2函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1在-2≤x≤1這一范圍內(nèi)存在最大值4，則m的值為（）

（A）-74. （B）±3.

（C）2或-3.（D）2或3.

解 根據(jù)題目中x的范圍，可以得到二次函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1圖象開口向下，在對稱軸處有最大值.下一步則需要對不同情況進行分析，首先，根據(jù)函數(shù)解析式可以得到其對稱軸為直線x= m，頂點為（m，m2+1）.

當(dāng)m<-2時，此時函數(shù)對稱軸在給定范圍的左側(cè)，當(dāng)x=-2時為最大值.

而后將y=4、x= -2帶入函數(shù)，解得m=-74，而-74>-2，與題意不相符合，所以舍去.

當(dāng)-2≤m≤1時，剛好將函數(shù)對稱軸包含在其中，因此，在x = m處存在最大值4，將y與x代入可以得到m=±3，因3>1，舍去，所以m的值為-3.

當(dāng)m>1時，函數(shù)的對稱軸則出現(xiàn)在區(qū)間的右側(cè)，此時則在x=1處存在最大值4，代入可以得到m=2，符合題意，所以本題正確答案為C.

3 定軸動區(qū)間類

定軸動區(qū)間的最值問題與定區(qū)間動軸問題具有十分類似，面對這一類型的問題，依舊要分為三種情況，分別進行討論.同時存在一些較為特殊的情況，需要確定自變量的取值范圍，而后挖掘其中的規(guī)律，減少分類討論的情況.

例3 二次函數(shù)y=-（x-1）2+5，當(dāng)m≤x≤n，且mn<0時，有最小值為2m，有最大值為2n，則m+n為（）

（A）52.（B）2.

（C）32. （D）12.

解 遇到這一題目時，應(yīng)當(dāng)充分挖掘題目中所給出的隱藏條件.通過題目中給出的m≤x≤n，且mn<0可得n>0，m<0，因此解題時只需判斷n與對稱軸1之間的大小關(guān)系，如此便可降低解題難度.

當(dāng)m≤x≤n<1時，由函數(shù)的基本性質(zhì)可以得到當(dāng)x=m時，為最小值，即2m=-（m-1）2+5，解得m=2或m=-2，其中m=2不符合題意，舍去.當(dāng)x=n時得最大值，2n=-（n-1）2+5，解得n=2或n=-2，二者均布符合上述分析，所以均舍去.

m≤x≤n<1，x=m時取最小值，即2m=-（m-1）2+5，可得解得m=2或m=-2，其中m=2不符合題意，舍去.當(dāng)x=1時，y值最大，為2n=-（1-1）2+5，n=52.

綜上可得，m=-2，n=52，所以m+n=-2+52=12，所以答案為D.

4 實際生活類

例4某商店中，一種籃球的進價為每個50元，出售時的單價則為60元，在這種情況下商店每個月可以賣出200個籃球，老板為了增加收入，于是調(diào)整了出售時的單價，而隨著售價的增加，銷售量卻逐步減少，而且每增加1元，其銷售量就會減少10個.根據(jù)市場情況，其最高價格不能超過72元，假設(shè)籃球價格上漲x元時商店的利潤為y元，那么：

（1）求商店每月利潤y與價格上漲x之間的關(guān)系;

（2）在籃球定價為多少元時，商店可以獲得最大的利潤.

解 （1）根據(jù)題意可以知道，y表示的為每個月出售籃球所獲得的利潤，x為籃球價格的漲幅，根據(jù)利潤=單價×數(shù)量可以得到關(guān)系式y(tǒng)=（60-50+x）（200-10x），進一步整理可以得到y(tǒng)=-10x2+100x+2000.

根據(jù)題意，籃球的售價不能超過72元，此時x的取值范圍則應(yīng)小于或等于72-60=12，0

（2）根據(jù)第一問可以得知y與x之間的關(guān)系為y=-10x2+100x+2000，將其進一步化簡可以得到y(tǒng)=-10（x-5）2+2250，

根據(jù)二次函數(shù)的基本定理可以得到當(dāng)x=5時，y存在最大值，為2250，同時x=5符合題目中給定的范圍，故當(dāng)籃球的售價為65時，商店會獲得最大利潤，為2250元.

本題是常見的利潤最大化的題型，這類題目并不困難，需要學(xué)生準(zhǔn)確地把握題目中給定的信息，并且找到正確的函數(shù)關(guān)系式，便可快速解答.

5 結(jié)語

二次函數(shù)最值問題作為初中數(shù)學(xué)考試中的重點題型，其考察方式也較為靈活.因此，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)積極鼓勵學(xué)生進行總結(jié)歸納，掌握各種題型的解題方法，以期在后續(xù)的考試中能夠快速的解決問題.

參考文獻：

[1]劉立海.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的最值問題求解分析[J].數(shù)理化解題研究，2016（20）：28.

[2]洪莎莎.基于初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中最值問題的思考[J].考試周刊，2020（98）：69-70.

[3]潘永俊.基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值教學(xué)[J].新課程，2020（36）：63.