在“變與不變”中感受數學思考的快樂

李敏娟

【摘 要】綜合實踐活動《周長是多少》是蘇教版三年級上冊第三單元的綜合實踐活動課，圍繞教學目標，筆者設計了“拼一拼”“比一比”“剪一剪”“畫一畫”和“估一估”的活動。在“比一比”這一環節，筆者對圖形周長的練習進行了適當的拓展，通過三次“變與不變”，由淺到深，層層啟發，讓學生思考圖形的“周長不變” “周長增加”或者“周長減少”的條件;從“確定”到“不確定”再到“確定”的思維碰撞的過程，啟發學生在圖形的變化中進一步把握圖形周長計算方法的本質，在計算和比較中獲得啟發，發現規律。

【關鍵詞】數學思維 數學活動 數學體驗

“長方形和正方形的周長計算”是蘇教版數學三年級上冊第三單元的教學內容。它是建立在理解周長的一般概念，并且掌握長方形、正方形的特征基礎上的。在此基礎上，教材安排了一節綜合與實踐活動《周長是多少》課，引導學生用所學知識解決實際問題，獲得分析問題和解決問題的一些方法，體驗方法的多樣性，從而得到有價值的體驗。此活動緊緊圍繞周長的含義、計算，精心設計了五項具體環節“拼一拼”“比一比”“剪一剪”“畫一畫”和“估一估”。活動內容既涉及長方形等一些規則圖形，也涉及一些不規則圖形。本節課注重引導學生在實際操作中進一步使用并掌握周長的計算方法，感受不同的數學思想方法，通過類比、延展，提高學生的概括和推理能力。

作為學生數學學習的領路人，教師首先應從自身出發，認真鉆研教材內容，領悟體會教材習題的意圖，然后根據教材內容靈活組織習題，從而幫助學生鞏固基礎知識、掌握基本技能。同時，也應熟悉學生知識點的生長點，做到既要突出重點，又要挖掘習題的思維深層價值，讓學生的思維水平得到進一步的提升。本堂課中，在“比一比”這個環節，教師適當拓展圖形周長的習題，學生充分經歷比較、歸納，探究同類題目，初步學會用探究的眼光看待看似靜態的圖形，深切體會“變與不變”的數學內涵，從而進一步地發揮習題的內在價值。

[片段一]“異”中求“同”

出示下列圖形（如圖1），并且說明圖中每個小方格的邊長都是1厘米。

師：老師這里有三個圖形，看哪個圖形的周長最大！比眼力的時候到了！3，2，1！

生1：我覺得第三個圖形的周長最大！（一開始學生會有不同意見）

師：仔細觀察這三個圖形，說一說你有什么發現？

生2：我覺得這三個圖形的周長相等。

師：到底是不是這樣呢？我們一起從左到右來算一算它們的周長，先各自計算第一個圖形的周長。

生1：6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

生2：6+5+6+5=22（厘米）。

師：第二個圖形的周長呢？

生3：老師，我覺得可以“變形”。（隨著學生的解說，用課件動態演示平移的過程）先把凹進去的邊向上平移，向右平移，變成一個長方形。周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

師：第三個圖形的周長呢？

生4：先把凹進去的邊向上平移、向右平移，變成一個長方形。周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

師：通過計算，你現在有什么發現？

生：我發現這三個圖形的周長都相等。

師：老師想“摳”去一個小正方形，那剩下圖形的周長是多少厘米？

師：（追問）這三個圖形的形狀不同，但為什么周長相等呢？

通過反復地比較、開放的討論，學生認識到：如果將第二個、第三個圖形角上的兩條短邊分別平移，我們就能把這個圖形轉換成一個與第一個圖形相同的長方形，因此得出轉換后的長方形的周長等于原來的圖形的周長。

[思考]學生的興趣是從比賽開始的。在“比眼力”的過程中，從“3、2、1，開始！”，讓學生的注意力集中在周長的變化上。雖然學生還沒有學過面積的概念與計算方法，但是對于面積的大小是有一定的判斷力的，所以一開始他們會認為周長會隨著圖形大小的變化而變化。但是通過平移、轉化，再加上隨后的計算卻讓他們驚喜地發現，圖形的周長竟然沒有發生變化，這激起了學生探究的興趣。然后讓學生指一指還可以“摳去”哪個部分，發現周長不變的規律，初步感知體會周長與圖形的大小之間沒有必然相關性。在面對一些具體的事物和現象時，我們需要引導學生在相似中尋找差異，在不同中把握共性，進而讓學生發現和提出一些有價值的問題。

[片段二]“散”中求“聯”

師：剛才我聽到有一個同學說，從長方形“摳去”一個圖形，周長都相等。那我們來看看這幾個圖形（如圖2），它們的周長相等嗎？

師：誰來說說你的發現？第一個圖形的周長是多少？

生1：6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），所以它的周長是22厘米。

師：第二個圖形的周長呢？和第一個圖形的周長相等嗎？

生2：它們的周長不相等，我覺得第二個圖形的周長變長了。

師：這是怎么回事呢？周長怎么這會兒又變長了呢？

生3：先移一移，變成一個長方形，它的周長要比第一個圖形的周長還多出了兩條3厘米的邊，所以它的周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），22+3+3=28（厘米）。

師：那第三個圖形的周長呢？誰來說一說？

生4：第三個圖形的周長和第一個圖形的周長也不相等。它的周長要比第一個圖形的周長多兩條2厘米的邊，它的周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），22+2+2=26（厘米）。

師：同學們，我們回過來看一看、比一比剛才這三個圖形的周長，你有什么發現？

生5：在長方形的一角“摳去”了一部分，剩下圖形的周長還是原來長方形的周長，如果在長或寬上“摳去了”一個圖形，發現把邊平移之后除了要算出長方形的周長之外還要加上增加的部分。

[思考]學生說的“從長方形中‘摳去一個圖形，周長都相等” ，這是學生普遍認為長方形上“摳去”一個小正方形或者小長方形時，周長不會發生變化。教師立馬出示三個圖形，讓學生觀察、比較，引導學生打破思維定式。學生通過觀察、思考、計算、交流有了新的發現。如果沿著一條邊的中間“摳去”一個小正方形或一個小長方形，它的周長就會發生變化。從而讓學生認識到“周長不變”是有條件的，就只能是在原來長方形的角上“摳去”一部分圖形。在這個過程中，學生的認識是逐步深入的。從“周長不變”到“周長增加”（或者“周長減少”），在看似散亂的幾組圖形中找出了和原來長方形周長之間的聯系，隨著認識不斷深入，學生自然就能體會到：在研究數學問題時，不能太急于下結論，而應該多一些觀察、多一些思考，多從不同角度想一想，在不規則的散亂的圖形中找到和原來長方形周長之間的聯系。在本節課中，學生自己交流溝通、探索計算周長的方式方法，得出了“求解不規則圖形周長的新思路、新方法之一是轉化”，在看似散亂的圖形中找到了它們與規則圖形間的內在聯系。

[片段三]“多”中求“深”

師：如果是在長方形的一頭“摳去”一個小長方形，照這樣的“摳法”，它的周長是變還是不變？

生1：在長方形的一頭“摳去”一個小長方形，原來的長變短了，所以周長是有變化的。它的周長是5+4=9（厘米），9×2=18（厘米），所以它的周長變了，而且是變小了。

[思考]“比一比”活動的目的側重引導學生感悟轉化思想，使學生初步學會如何計算不規則的多邊形周長的一種方法——“等長轉化”。在之前的教學中，教師一方面需要鼓勵學生利用開放性思維進行頭腦風暴，利用之前已經學習過的相關知識來解決新的問題，另一方面還需要借助幻燈片動畫等動態演示方式來幫助學生強化理解轉化的具體過程。為了防止學生產生思維定式，教師于是設計了這個特殊的例子，這個例子再一次挑戰了學生已有的認識，用特殊的“剪法”，引導學生思考周長到底是變還是不變，體會判斷這個問題的關鍵是看到底是增加了還是減少了。在這一系列的探究中，學生對周長的變化有了更加深刻的感悟，也深刻體會到了周長的變與不變都不是絕對的，這樣的習題設計有助于學生在比較中能夠更加全面地掌握一些圖形周長變化的特點。

在“比一比”這個活動中，教師需要基于教材中的一道基礎性練習題，經過適度的拓展之后，設計由淺到深的三個層次的教學活動，通過一步步引導，讓學生經歷從“周長不變”到“周長增加”，再到“周長減少”，從“確定”到“不確定”的思維過程，引導學生從“會解題”逐步走向“會思考”，讓學生在“變與不變”的思考中感受到數學的快樂，并且發展了空間觀念，提高了數學思維水平。在這個過程中，學生不但能夠加深對周長含義以及長方形和正方形的特征的認識，還能積累轉化的經驗、逆向思考的經驗，進一步豐富“圖形與幾何”的學習經驗，發展數學舉一反三、層層遞進的思維方式，為今后繼續學習其他平面圖形的知識以及周長和面積的計算奠定了扎實的基礎。