發展兒童數感：從關注估算出發

湯燕波

【摘 要】估算與人們的日常生活息息相關，估算學習也非常重要。良好的估算能力，有利于提高學生的計算能力，促進思維的發展，建立良好的數感。估算能力與數感相互影響、相互促進。本文以關注估算教學為切入點，探討估算教學中的常見問題，并嘗試提出培養學生估算能力的針對性策略。

【關鍵詞】估算能力 估算策略 精算 數感

生活中處處有數學，生活中處處能用到估算，如購物、旅行、房屋裝修等。在數學學習中，我們也常常利用估算來檢驗計算結果的正確性等。但在實際運用中，又有多少學生能自覺地應用估算來解決問題呢？學生學習估算的意義在哪里呢？考慮到估算教學本身的特殊性、估算方法的多樣性和估算結果的不確定性，估算教學成為教師困惑的教學內容之一。本文以蘇教版數學教材為例，通過收集估算教學中的常見問題，了解估算教學的困難所在，嘗試從多個角度分析并給出相應的對策。

一、估算的意義與價值

何謂“估算”，小學數學教材中沒有明確的定義，通過查找相關資料，筆者認為估算是指對一些無法或沒有必要進行精確測量和計算的數量所進行的近似或粗略估計的一種方法，估算能力是計算能力的重要組成部分。

早在1992 年，估算內容首次被引入教材，課程標準的實驗稿和 2011年版的數學課程標準都提出了明確的要求。2011年版的數學課程標準中是這樣描述的：“在具體情境中，能選擇適當的單位、合適的方法進行簡單估算，理解估算的意義?！笨梢姡浪憬虒W越來越被重視。估算意識的培養、估算技能的掌握、估算能力的提高，已成重要的教學目標。

估算能力的培養，有利于提高學生的計算能力，促進思維的發展，建立良好的數感，良好的數感反過來也能增強學生的估算能力。學習估算，是為了更好地應用估算解決實際生活問題，實踐證明，估算還能培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。

二、估算教學中常見的問題及成因

教師常常認為估算沒什么可教的，正是因為方法的多樣性和估算結果的不確定性，使得估算不容易教，加上相關作業、練習中估算內容較少，往往精算也能解決問題，所以師生長期不重視估算的教學。而走過場式的估算教學，導致學生估算能力比較薄弱。筆者認為，學生估算能力薄弱的原因，總結起來有以下幾方面：

（一）從知識的角度：估算概念模糊不清

翻閱蘇教版數學教材，教材中常常會出現“先估計”“先估一估”“口答”等詞，而且有時是用紅筆特別標注，估算的要求非常明確。實際教學中，教師也會有意識地去教學估算，但不是所有像上面的情境都需要估算。學生往往只要一看見題目中有“估計”“大約”“大概”“可能”等字樣，就認定這道題是估算，至于需不需要估算、為什么要選擇估算，根本就沒有考慮，這使估算學習顯得很機械。

例如：蘇教版數學三年級上冊第42頁第4題。

有學生認為這一題是需要估算的，問題中有“大約”，但是仔細讀題之后會發現，這兒的“大約”僅僅是這個情境在現實生活中實際需要的表達，因為實際做鋁合金條是有損耗的，這個“大約”也可以換成“至少”，并不是要求估算值。所以，這里用精確計算80×4得到的320，看著是一個精確數，其實它仍然是一個近似數，這取決于實際的情境。

（二）從方法的角度：找不準估算的方法

就估算而言，估算方法可以有很多種，選擇哪種估算方法，則需要有選擇性地靈活運用，加上估算結果的不確定性，所以估算對于學生的綜合要求比較高。尤其讓學生感到困難的是：面對不同的情境，要判斷不同估法的準確性，找到合理的估法。

例如：蘇教版數學二年級下冊第77頁例7“三位數減法的筆算”。

教師引導學生先進行估算。

生1：把204看作200，把108看作100，200-100=100，所以大約是100。

生2：把108看作100，204不變，204-100=104，所以差比104要小。

生3：把108看作104，204不變，204-104=100，所以差比100小。

生4：我是這樣想的：100+108=208，現在才是204，所以差一定比100小。

生5：我覺得差一定在90～100之間，108+90=198，還不到204，差一定比90大，再加上204-104=100，204-108的差比一定比100小。

生6：204-104=100，現在減數是108，減數要多減4，那么差就少4，所以我能口算出答案，用100-4=96。

……

從上面可以看出，學生估算的方法是很豐富的，有用減法想的，也有用加法想的，學生暢所欲言，教師也很尊重學生的想法。但是如果深入思考，這些估法是否都可以呢？如果加上一個具體的情境，問題為：一年級有100個兒童畫展位，夠掛嗎？加上這個情境后，那么學生1和2的這種估法顯然就不合適了。

（三）從習慣的角度：先算后估急于求成

估算和精算相比，精算是直接計算，直接思維;而估算往往要先繞過精算，先估后算，是一種間接思維。所以，學生常常不喜歡估算。確實，有些題目用精算能直接解決問題，用估算還要根據情境思考合適的估算方法，有時還會出錯。學生會認為既然這樣，為什么還要估算。所以，學生是越不用就越想不到用，精確計算已經形成思維定式。

例如：蘇教版數學二年級下冊，“兩位數的加減法”練習中設計了下面兩組題目。

先說說得數是幾十多，再口算。

54+14=? ? ? ? ? ? ? ?38+54=? ? ? ? ? ? ? ?69+25=

49+37=? ? ? ? ? ? ? ?26+29=? ? ? ? ? ? ? ?32+45=

先說說得數是幾十多，再口算。

67-35=? ? ? ? ? ? ? ?94-38=? ? ? ? ? ? ? ?31+26=

72-53=? ? ? ? ? ? ? ?84-16=? ? ? ? ? ? ? ?80-45=

學生大多是這樣匯報的：

54+14，個位上4+4=8，再看十位5+1=6，所以是60多。

26+29，個位上6+9=15，再看十位2+2=4，個位有進位，所以是50多。

67-35，個位上7-5=2，再看十位6-3=3，所以是30多。

93-57，個位上3，減7不夠減，變成13-7=6，再看十位8-5=3，所以是30多。

上述的兩組題是純估算練習的情境，可以看出大部分學生在匯報估算方法時，由于習慣精算的思維定式，說著說著就先算出精確值了，而且和豎式計算的方法一樣，都是先從個位算起。其實教材分組呈現，意在讓學生發現估算的方法，教師可以引導學生先估十位，再看個位，只要看個位是否需要進位或者退位即可，這種估算方法更簡單、快捷。

三、提高學生估算能力的方法與策略

（一）創設問題情境，感受估算價值

估算教學的目標是培養學生的估算意識，使學生能靈活地運用估算方法解決實際問題。情境的設計、問題的呈現是學生體會估算意義和價值的關鍵。在實際教學中，教師要善于捕捉生活中的“數學現象”，或者有意義的教材資源，將其作為素材，設計出鮮活的、有挑戰性的問題情境，進而讓學生深切地體會估算的作用和意義。

例如：蘇教版數學三年級下冊第2頁例2。

這一題就是一個很好的生活中的估算素材，筆者在上課時只呈現了以下情境：“王大伯把去年收獲的蒜頭裝在同樣大的袋子里，一共裝了60袋?！奔ぐl學生思考：“你能想辦法估算王大伯去年大約一共收獲蒜頭多少千克嗎？”課堂上學生進行了熱烈的討論。

生1：這里有60袋大蒜，要是一袋一袋稱有點麻煩，我覺得可以先稱出一袋的質量，再乘60。

生2：我認為生1的方法挺好，也就是我們可以估計大概有多重。

生3：我同意你們說的，但是我不大同意生1的想法，雖然這個袋子是同樣大的，但是每袋的質量可能會有不同，如果巧了，你拿的那袋正好是最少的，那乘60，60袋誤差就大了，如果王大伯拿去賣的話，那豈不是太虧了。

生4：我覺得生3說得有道理，但是題目中說袋子是同樣大的，所以我覺得每袋的質量不會相差很多。

生5：我認為我們可以不只拿一袋來稱，可以多稱幾袋，看看情況。

生6：我想問，假如說我們現在拿出5袋來稱，那也有可能這5袋是最少的，或者是最多的，那怎么辦？

生7：我覺得這種可能性有，但也不一定，你不是隨便拿的嗎？但是這個方法比生1說的方法誤差要小。

……

當學生把所學知識與生活情境聯系起來，就能更好地掌握知識、內化知識。像上面的設計就很有價值，學生討論時自然而然就想到了估算，通過對估算方法的討論，體會到估算可以有效地解決實際生活中的難題，方便人們的生活。這里，學生真正感受到了估算的價值，是發自內心的一種感悟，從而增強了學生的估算意識。

再如：蘇教版數學四年級下冊第30頁第2題。

師：你能快速判斷上面的計算是否正確嗎？比一比，誰判斷得快？

生1：121≈120，13≈10，120×10≈1200，第1題肯定不對。

生2：121≈100，13≈10，100×10≈1000，121×13肯定比1000大，所以第1題不對。

生3：我們可以看最高位，121的百位是1，表示1個百，13的最高位是1，表示1個十，1個百乘1個十，怎么可能結果只有400多呢？

生4：我觀察了一下，這3道豎式都是三位數乘兩位數，三位數乘兩位數，至少是四位數，所以484 肯定不對。

上面的例子呈現的是純估算計算練習情境的教學，可以發現學生是在“被逼”的情況下想到用估算，而且方法多樣。實際教學中，如果學生在每次計算之后都能自覺利用估算，反過來再檢驗計算結果的合理性，并養成習慣，那么計算的準確性將大大提高。

所以，教師要研究估算，努力把估算滲透到計算的每一個環節中，如小數乘法計算、復雜除法（除數是兩、三位數或小數）計算中的試商等，讓學生能自覺地運用估算的檢驗功能，真正感受到估算能為筆算服務。教師還要創造性地使用教材、活化教材，即使有些題中沒有估算要求，也可以創設情境，適時地“逼”學生應用估算，讓學生感受到估算的實用性和便捷性。久而久之，學生的估算意識就會不斷加強。

（二）尊重算法多樣，培養估算策略

估算教學時，我們往往更重視“如何估算”的方法指導，估算的方法很多，但并不是任何估算方法都是合理的，估算策略很重要。估算策略主要是指根據不同的問題情境，運用合適的估算方法去解決問題的策略，具有較強的針對性和靈活性。學生掌握基本的估算方法并不難，但是靈活運用估算策略卻不容易。

例如：蘇教版數學三年級下冊第15頁第3題。

師：49×62，你是怎么估計的，誰來說一說？

生1： 49×62，把49 估算成 50，把 62 估算成 60，50×60=3000，所以 49×62 的積大約是 3000。

生2： 把49和62兩個數都看小，分別看成40和60，40×60=2400，把49和62兩個數都看大，分別看成50和70，50×70=3500，所以49×62一定比2400大，比3500小，在2400和3500之間。

生3： 我是這么估的，把 49 看成 50，62不變，50×62=3100，所以 49 ×62的積大約是 3100。

生4：可以把62看成 60，49不變，49×60=2940，所以 49 ×62的積大約是2940。

……

師：你們覺得哪種估算方法更好呢？

生5：我覺得生1的方法好，找最接近的整十數，這種方法最簡單。

生6：我想補充一下生3的估法，他是把49看成50，估大了，所以49×62的積應該比 3100小。

生7：那么用生4的估法，49×62的積一定比2940大了。

生8：老師，如果把題目改一下，改成比較大小：49 ×62○3100，我覺得用生6的方法好，其他方法好像都不行。

生9：如果是買東西的問題，問帶2400元夠不夠，那我覺得用生2的方法就可以了，不用再細估了。如果換成2800元，那就得用生7的估法了。

生10：所以，我覺得前面大家說的估算方法都對、都可以，但是要具體題目具體分析。

……

上述一道簡單的乘法估算題，開啟了學生估算學習的大門，經歷探索估算方法這個過程，學生會對估算有更加深刻的認識，生成的是方法、是策略，更是能力。可見估算能力是一種綜合性很強的能力，在不同的具體情境下，運用的估算策略也是不相同的。 因此，在估算教學中，我們不能僅僅局限在教會學生估算方法，還要進一步引導學生根據實際情境，思考估值與準確值之間的關系，是多估了，還是少估了，怎樣估才與準確值最為接近。學生通過對估算值與準確值的比較，逐步明確估算的策略，建立更為清晰的數感。教師在估算教學時還要重視讓學生暢所欲言，交流、解釋彼此的估算過程，在思維的碰撞中獲得“估算智慧”。

（三）突破思維定式，估算精算結合

從本質上看，精算和估算是不同的，精算是對于數的運算，估算是對于數量的運算。精算有利于培養學生的抽象能力，而估算有利于培養學生的直觀能力，這兩種能力都是日常生活和生產實踐中必不可少的能力，也是數學素養的根本。估算不僅僅是近似計算，更不是精算以后的四舍五入，估算也是需要算的，常常和精算結合在一起。

例如：蘇教版數學四年級上冊教學“除數是兩位數的除法”。

這里的試商是嘗試把除數看成接近它的整十數，通常口算就能直接找到商，但是試商也會出現下面兩種情況：一種是乘積大于被除數，一種是余數大于或等于除數，所以需要結合乘法精算的結果繼續調整商。

例如，蘇教版數學三年級下冊“兩位數乘兩位數”練習中有這樣一題：

王老師帶48名學生去公園劃船，每張船票11元，帶 500 元錢，夠買門票嗎？

有學生是下面這樣估的：

生1：48+1=49，49≈50，11≈10，50×10=500，夠買。

生2：48+1=49，49≈50，50×11=550，不夠買。

生3：48+1=49，11≈10，49×10=490，夠買。

但是實際的情況是48×11=528，528>500，應該是不夠買。

從這一題可以看出，學生會把估算方法簡單地理解為四舍五入法，但是深入地思考后，上面的三種估算方法都不合理，因為三種方法都不能確定是比500大還是比500小，只能說大約是500。所以，教學估算時，教師一定要讓學生明確每種估法，是估多了，還是估少了，與參考值相比怎么樣。如上面生3的估法，估的是49×10=490，實際算的是49×11，實際值比估值多49，從而確定實際值比參考值500元多，500元不夠，這個估法就更為深入了。由此看出，有時候運用估算不一定簡單，需要不斷地對比、調整。有學生會覺得這道題還不如直接計算，精算更方便，估算反而更麻煩。這一題是可以精算，但是如果把題目中的500元改成550元，生2的估法就可以直接解決問題了。所以，估算教學并不是單一的教學，它常常和精算相結合。精算和估算也是相輔相成的，估算可以用來檢驗精算的結果是否正確，精算也可以檢驗估算方法是否合理。

綜上所述，估算能力并不是單一的計算技能，它要求學生具有良好的數感和靈活運用所學知識解決問題的能力。估算能力與數感是相互影響、相互促進的。估算能力的養成是一個長期積累的過程。作為一名數學教師，要善于不斷地研究、拓展教材，把對估算能力的培養不失時機地滲透到各個教學內容之中，使學生增強估算意識，掌握估算技能，提高估算能力，充分發揮出估算在數學學習中的作用，從而不斷提高學生數學的綜合素養。