圓錐曲線雙切線交點(diǎn)軌跡探究

丁位卿 萬志紅

【摘 要】 圓錐曲線以其美妙的身姿及其它蘊(yùn)藏的難以窮盡的優(yōu)美性質(zhì)引起著眾多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者對它的研究興趣，對它的研究沒有彼岸.本文給出筆者對圓錐曲線上的兩動點(diǎn)（對應(yīng)的變半徑夾角為不超過平角的定角）的雙切線軌跡進(jìn)行深入地探究，新發(fā)現(xiàn)3個新命題及其推論（也是3個新定理），供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線;雙切線交點(diǎn);姊妹（衍生）橢圓

1 橢圓的雙切線交點(diǎn)軌跡

一、對過橢圓不同的兩點(diǎn)A、B，（∠AOB為不超過180°的定角），分別過A、B兩切點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P，下面研究交點(diǎn)P軌跡.（另給出一個推論和一個結(jié)論性質(zhì)）.

命題1 如圖1，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）

上兩點(diǎn)A，B，令∠AOB=θ（定角），且0°<θ<180°，以A，B為切點(diǎn)分別作橢圓的切線，交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的軌跡方程為：

[a4（b2-y2）+b4（a2-x2）]2=4a4b4[a2y2+b2（x2-a2）]·cot2θ.

證明 我們知道過橢圓上一點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，即b2x0x+a2y0y=a2b2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（s，t），則過A，B兩點(diǎn)的切線方程分別為

b2x1x+a2y1y=a2b2和b2x2x+a2y2y=a2b2，且有b2x1s+a2y1t=a2b2，b2x2s+a2y2t=a2b2.所以切點(diǎn)弦AB的方程為b2sx+a2ty=a2b2①.

與橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2②聯(lián)立先消去y，化簡整理得（a2t2+b2s2）x2-2a2b2sx+a4（b2-t2）=0，

所以x1+x2=2a2b2sa2t2+b2s2③，x1x2=a4（b2-t2）a2t2+b2s2④.

同理，聯(lián)立①，②兩式，再消去x化簡整理得y1+y2=2a2b2ta2t2+b2s2⑤，y1y2=b4（a2-s2）a2t2+b2s2⑥.

由已知OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），故OA=OA，OB=OB.

所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=OA·OB·cosθ⑦.

又如圖1，過O作OD⊥AB，垂足為D點(diǎn)，并設(shè)d=OD.

已知切點(diǎn)弦AB方程為b2xs+a2yt=a2b2，所以k=kAB=-b2sa2t.

由點(diǎn)到直線距離公式得d=OD=-b2t 1+k2=b2t 1+k2d2=b4t2（1+k2）.

又AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4a4b4s2（a2t2+b2s2）2-4a4（b2-t2）a2t2+b2s2=4a4t2（a2t2+b2s2-a2b2）（a2t2+b2s2）2，所以AB2=4a4t2（a2t2+b2s2-a2b2）·（1+k2）（a2t2+b2s2）2.

所以d2·AB2=4a4b4[（a2（t2-b2）+b2s2]（a2t2+b2s2）2⑧.

因?yàn)镾△AOB=12OA·OBsinθ=12AB·OD=12ABd，所以AB·d=OA·OB·sinθ. ⑨

聯(lián)立⑦，⑨兩式消去|OA|·|OB|（兩邊同時平方）得（x1x2+y1y2）2=d2·AB2·cot2θ. B10

因?yàn)閤1x2+y1y2=a4（b2-t2）a2t2+b2s2+b4（a2-s2）a2t2+b2s2.

將上式和⑧式同時代入⑩式化簡整理得

[a4（b2-y2）+b4（a2-x2）]2=4a4b4[a2y2+b2（x2-a2）]·cot2θ（）

它就是交點(diǎn)P的軌跡方程.

由（）式，當(dāng)∠AOB=θ=90°，cotθ=0.故由（）式推導(dǎo)出

x2aba2+b22+y2baa2+b22=1（a>b>0）（）

此軌跡是新橢圓，它與蒙日圓有四個交點(diǎn)，分別是（a，b），（-a，b），（-a，-b），（a，-b），

所以當(dāng)θ=∠AOB=90°時，它是一個與原橢圓同中心的姊妹橢圓，于是有以下推論：

姊妹橢圓定理（推論） 從橢圓（橢圓心角為直角）上不同兩點(diǎn)引它的兩條切線的交點(diǎn)的軌跡，就是與原橢圓同中心的姊妹橢圓（如圖2）.圖2

因此，我們可以編……