本手開新路 妙手達通途

【摘 要】 本文以基礎知識點為盾牌，斜率積、面積坐標公式等為武器，研究2022新高考Ⅰ卷圓錐曲線大題的解法，并且拓展到一般結論，從中體會本手的重要性.

【關鍵詞】 圓錐曲線;齊次化;斜率積代換;向量同構;本手;妙手

妙手非偶得，本立而妙生. 以今年新高考Ⅰ卷的圓錐曲線大題來談一下圓錐曲線解法中的本手、妙手.

圓錐曲線是高考的重點與難點，其中定點、定值是圓錐曲線中的熱點. 這類問題對學生的分析能力，運算能力與技巧要求比較高[1]. 這使得學生存在算不完或者做不對的普遍現象，本文就2022新高考Ⅰ卷的21題淺談一下這類問題的解法及結論的一般化.1 真題展示

（2022年新高考Ⅰ卷21題） 已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

2 真題溯源

第一問和2009年遼寧卷理科第20題，2017年全國新課標Ⅰ卷理20題類似.

題1 （2009年遼寧卷理20題） 已知橢圓C經過點A1，32，兩個焦點為（-1，0），（1，0）.

（1）求橢圓C的方程; （2）E，F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線 EF的斜率為定值，并求出這個定值.題2

（2017年全國新課標Ⅰ卷理20題） 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3–1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

第二問與2015年上海卷理科21題可謂是如出一轍.

題3 （2015年上海卷21題） 已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.

（1）設A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐標表示點C到直線l1的距離，并證明S=2x1y2-x2y1;（2）設l1與l2的斜率之積為-12……