“直線方向向量”的牢騷

【摘 要】 人教A版新教材選擇性必修1對平面內點到直線距離的推導采取了兩種辦法，一是利用解方程組求出垂足的坐標，再利用兩點之間的距離公式求解;二是利用向量，利用過點的向量在直線法向量上的投影來求解. 本文給出了利用向量在直線方向向量上的投影來求解的方法，同時給出了平面內直線方向向量的幾種表示和空間直線方向向量的應用.

【關鍵詞】 方向向量;法向量;距離

放學了，教室一下子空蕩安靜了，只剩下滿黑板的板書還讓人可以知道今天最后一節是數學課，學習的內容是“平面直角坐標系中的點到直線的距離公式”.也就是，坐標平面內，點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d=Ax0+By0+CA2+B2.

突然，教室里傳來一聲嘆息，還伴隨著不時的自言自語聲音，讓我們偷偷進去聽聽，到底是哪位同學還在教室.

“哎，只要一靜下來，我就想不通. 在三維空間，你直線縱橫捭闔，所向無敵，其實都是我出面擺平的，利用我方向向量，來解決與其它直線、平面的平行、垂直關系，來計算得到相交的角度和距離. 更重要的是，利用我還可以推導出你直線在空間直角坐標系中的方程：

設直線l過點A（-1，0，2），B（3，-1，4），則AB=（4，-1，2），設直線l上任意一點P（x，y，z），則AP=tAB（t∈R）.由于AP=（x+1，y，z-2），所以（x+1，y，z-2）=t（4，-1，2），從而x+1=4t，y=-t，z-2=2t，于是得到直線l的方程x=4t-1，y=-t，z=2+2t（t∈R）或x+14=y-1=z-22. 可見直線在平面內和在空間內的方程是不相同的.

那段經歷，我都無怨無悔，任勞任怨，盡職盡責. 然而一到這一章，你直線回歸到平面直角坐標系中，你就拋棄了我方向向量.讓我情何以堪？”聽口氣，說話的應該是直……