多角度探究2022年新高考Ⅰ卷比大小選擇題

譚天眾 王喜建

【摘 要】 本文對2022年新高考Ⅰ卷比大小的選擇題進行多角度探究，給出一類含有對數與指數的比較大小題型的一般方法，以期幫助高三師生備考，提高復習效率.

【關鍵詞】 比較大小;放縮;構造;泰勒展開式

1 試題呈現與分析

（2022年全國新高考Ⅰ卷第7題）設a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則

A.a

試題分析 本題以對數與指數為載體，考查實數的比較大小.該類題型往往題干簡潔，但是綜合性極強，綜合考查對數指數運算性質、函數的單調性、不等式的性質等知識點.側重考查邏輯推理素養、數學運算素養，對學生的思維能力與綜合運用能力提出比較高的要求.本題有多種解題角度，不同考生會選擇不同的切入點，是一道值得深入研究的好題.

2 多角度探究

因為a=0.1e0.1，b=19=0.10.9=0.11-0.1，c=-ln0.9=-ln（1-0.1），故可構造函數f（x）=xex，g（x）=x1-x，h（x）=-ln（1-x），則a=f（0.1），b=g（0.1），c=h（0.1）. 比較f（x），g（x），h（x）的大小關系，可有不同的角度.

角度1 放縮法

由經典切線不等式ex≥x+1，當且僅當x=0時取得等號，把x換成-x，從而有e-x≥-x+1，即1ex≥-x+1，當x∈（0，0.1]時，有11-x>ex，從而有x1-x>xex， 即g（x）>f（x）.下證x（x+1）>-ln（1-x），當x∈（0，0.1]時成立. 令p（x）=x（x+1）+ln（1-x），則p′（x）=2x+1-11-x=x（1-2x）1-x>0，當x∈（0，0.1]時成立，所以p（x）單調遞增，所以p（x）>p（0）=0.由上面分析得到，h（x）

評注 本解法先根據需要比較的數的代數結構，建構出經典切線不等式模型，需要考生對經典切線不等式相當熟悉，并能夠靈活運用，運用經典切線不等式解答比較大小的題目是個熱點問題.常見經典切線不等式有（以下圖象由幾何畫板完成）：圖（1）ex≥x+1，圖（2）ex≥ex，圖（3）ln（1+x）≤x，圖（4）lnx≤x-1，圖（5）lnx≤xe.

（2021年廣州一模第8題）已知e≈2.71828是自然對數的底數，設a=3-3e，b=2-2e，c=e2-1-ln2，則

A.a

解析 設f（x）=x-xe，求導易得f（x）在[2，3]上單調遞減，所以ab，選A.

角度2 函數單調性

f（x）-g（x）=x1-x[（1-x）ex-1]，令p（x）=（1-x）ex-1，當x∈（0，0.1]時，p′（x）=-xex<0，所以p（x）在（0，0.1]上單調遞減，p（x）0，所以m（x）在（0，0.1]上單調遞增，所以m（x）>m（0）=0，從而q′（x）>0，所以當x∈（0，0.1……