齊次化方法巧解一類斜率之和（積）問題

【摘 要】 在將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立時，如果借助齊次化的思想方法，就可以得到關(guān)于yx的一元二次方程，從而將題目中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個根，從而根據(jù)韋達定理直接得到斜率之和與斜率之積的表達式.

【關(guān)鍵詞】 齊次化;圓錐曲線;斜率之和;斜率之積;定點問題;定值問題

“齊次化”是一種通過構(gòu)造關(guān)系式（等式或不等式）兩邊各項的次數(shù)相等，轉(zhuǎn)化為齊次式結(jié)構(gòu)，從而實現(xiàn)解題的一種數(shù)學轉(zhuǎn)化方法.在求解圓錐曲線問題時，常常需要將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，如果借助齊次化的思想方法，就可以得到關(guān)于yx的一元二次方程，從而將題目中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個根，再根據(jù)韋達定理，即可直接得到斜率之和與斜率之積的表達式.齊次化思想方法的這種操作又常被稱為齊次化聯(lián)立.利用這種齊次化聯(lián)立與平移齊次化方法，往往可以降低一類斜率之和或斜率之積問題的運算量，實現(xiàn)巧解.

1 齊次化聯(lián)立：常量巧代換，妙招構(gòu)斜率

我們知道，當直線l：y=kx+m與圓錐曲線f（x，y）=0相交于A，B兩點時，聯(lián)立兩者的方程，消去y得Ax2+Bx+C=0，根據(jù)韋達定理可得x1+x2與x1x2，進而可以求得兩條直線OA與OB的斜率之和kOA+kOB=y1x1+y2x2=kx1+mx1+kx2+mx2=2kx1x2+m（x1+x2）x1x2與斜率之積kOA·kOB=y1y2x1x2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2x1x2的表達式（這里的點O為坐標原點）.這種解題思路極為常見，但若是巧施妙手，通過“齊次化聯(lián)立”對其略加改進，得到關(guān)于yx的一元二次方程A·yx2+B·yx+C=0，就可以把斜率kOA與kOB視為該方程的兩個根，這樣斜……