利用伸縮變換探求橢圓問題之所以然

【摘 要】 本文為探求橢圓問題的簡便解法以及結(jié)論的意義，以伸縮變換的性質(zhì)為依據(jù)，采取橢圓化圓的思想方法對幾道高考題進(jìn)行了研究，揭示了條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，并分析了這種思想方法對學(xué)生思維的影響.

【關(guān)鍵詞】 伸縮變換;橢圓化圓;內(nèi)在聯(lián)系

1 問題提出

在橢圓教學(xué)中，我們常常教給學(xué)生一些二級結(jié)論以便快速找到解題方向，比如中點弦斜率公式：在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，弦AB為任意一條與坐標(biāo)軸不平行的弦，弦AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點，則直線AB和OM的斜率必然滿足關(guān)系式：kAB·kOM=-b2a2，這個結(jié)論不難推出，但缺乏直觀的解釋.

人教A版選修1-1第34頁例2給出這樣一個問題：如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？在接下來的解決過程中，設(shè)點M（x，y），P（x0，y0），

通過坐標(biāo)的替換x=x0，y=y02，得到M的軌跡方程為橢圓方程x24+y2=1. 這說明橢圓和圓之間是可以通過坐標(biāo)變換實現(xiàn)互化的[1]，由于這種變換使得橢圓或圓產(chǎn)生形狀的伸縮，通常又稱為伸縮變換. 伸縮變換反映了橢圓和圓的內(nèi)在聯(lián)系，從而啟發(fā)我們可以將某些橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題來解決. 接下來本文將首先介紹伸縮變換的性質(zhì)，然后結(jié)合幾道高考題來闡述一下這個思想方法的運用，并在伸縮變換的視角下重新審視那些橢圓結(jié)論的由來.2 伸縮變換的性質(zhì)

對平面中的二次曲線F（x，y）=0上的點P（x，y），經(jīng)過x′=xa，y′=yb（a>0，b>0）替換后，變?yōu)辄cP′（x′，y′），相應(yīng)的方程變?yōu)镕（ax′，by′）=0，根據(jù)變換式不難得出以下性質(zhì)：

（1）相切、相交、相離的兩曲線，變……