回顧與審思：寫于兩本著作加印之時

摘要：認識的發展離不開總結、反思和再認識。《小學數學教育的理論與實踐》和《數學深度教學的理論與實踐》兩部著作的論題“如何認識數學教育的基本任務”“如何有效地實現數學教師的專業成長”“走向核心素養與為學生思維發展而教的關系”“走向核心素養與深度教學的關系”等，具有重要的理論和現實意義。通過兩部著作的比較，特別是異同點的分析，可以看到在這些論題上認識的發展與深化。這對課程改革的深入發展也有重要的借鑒和啟示意義。

關鍵詞：數學教育;深度教學;核心素養;思維發展;課程改革

一周內接到了兩次電話，分別來自華東師范大學出版社與江蘇鳳凰教育出版社，得知《小學數學教育的理論與實踐》與《數學深度教學的理論與實踐》兩本書已售完，并決定加印或再次加印。這兩本書是筆者較新的著作（分別出版于2017年和2020年），能得到讀者認同當然是一件很開心的事，同時也感到一定的壓力：這些書是否真的有一定的價值，從而值得再次印刷？

這事實上也是筆者近期一直在思考的一個問題：畢竟年事已高，并已發表了近500篇文章，出版了35本專著，是否應該適可而止？為此，筆者還專門找來了荷蘭著名數學家、數學教育家弗賴登特爾的著作《數學教育再探——在中國的講學》與邱學華老師的新著《邱學華怎樣教兒童學數學》，想了解一下兩位作者在年過八十后都寫了些什么，以期獲得啟示和教益。

這是筆者在這些年中一直堅持的一個立場：寧做批評，決不媚俗;但求深刻，切忌裝腔。但是，自己還能作出一些新的有意義的工作嗎？又應主要做些什么呢？這也許就是一件應當立即擺上日程的事，即“回顧與審思”，特別是看一看自己有沒有講錯的，又有什么需要特別強調的。另外，還應督促自己不要出現這樣的常見弊病，即不斷重復已講過的話，倚老賣老，自我吹噓。并希望自己能逐步實現這樣一個變化，即相對于單純的“深刻”而言，變得更加“簡單”;除去單純的“批評”以外，也能給人（特別是年輕人）更大的啟示與鼓勵。

更一般地說，這顯然也可被看成認識發展的普遍規律，即離不開總結、反思和再認識;當然，在這一過程中出現一些錯誤或片面的認識也屬正常，關鍵則在于我們是否具有足夠的自覺性，包括能否切實做好“化多為少，化復雜為簡單”。在筆者看來，這也正是我國新一輪數學課程改革亟待加強的一個方面：盡管這次改革已有了近20年的“歷史”，實際過程也不能說一帆風順，數學課程標準更是經歷了多次修訂，但是，除去對“成績”的強調以外，我們是否有過認真的總結、反思與再認識？

后一論述似乎有點偏題，還是先回到即將再次印刷的這兩本書吧。

一、聚焦《小學數學教育的理論與實踐》

任何一本書的寫作都有特定的背景，從這一角度分析，可以較好地了解作者的寫作意圖，包括對著作的價值作出具體判斷;與此相對照，從發展的角度考察，則容易看出它的優點與局限性，包括它在現時是否仍有一定的積極意義。

例如，這事實上也是筆者在編撰《鄭毓信數學教育文選》①時特別注重的一點，即文章的啟示意義。這并不是一種歷史的考察，而是以當前的讀者為主要對象，即希望選人的文章對當前的數學教育教學工作仍能發揮積極的作用。

也正是從同一角度分析，筆者以為，盡管《小學數學教育的理論與實踐》出版已有5年的時間了，它的兩個論題在當前仍可說具有很大的重要性，即：我們應當如何認識數學教育的基本任務？又如何能夠有效地實現自己的專業成長？

先來看這一著作的后一論題。這正是筆者2010年給廣大一線教師的一個具體建議：立足專業成長，關注基本問題。因為，專業成長是我們做好教學，包括成功實施課程改革的根本保證。這不是對時髦口號的簡單追隨，而是我們應當始終圍繞數學教育的基本問題進行分析、思考，從而通過逐步積累不斷取得新的進步。書中在這一方面的各個具體主張（見書的第二部分）在當前應當說仍然是有效的，盡管其中的一些或許已不再具有當年那樣的重要性和緊迫性，也有一些需要進一步研究。

比如，書中關于數學教學方法，特別是情境設計、動手實踐、合作學習等“新的”教學方法的分析，或許就可以被看成前一方面的實

①參見：鄭毓信.鄭毓信數學教育文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021。

例：相關論述在當時應當說具有很強的“撥亂反正”性質，即有助于我們糾正在教學方法改革上的“形式主義”傾向，但就現實而言，可以說已成為人們的共識——當然，讀者仍可以通過閱讀在這方面作出自己的分析和總結，從而不僅有益于提升自己的理論水準，也能有效地防止現實中經常可以看到的這樣一個現象，即人們往往會不自覺地重復過去的錯誤，盡管后者的表現形式可能有所不同。

再如，數學教學的現實發展，顯然也已十分清楚地表明了練好“基本功”的重要性。或者說，作為數學教師，我們應當努力提高自己的教學能力，特別是，應當善于提問，從而在充分發揮主導作用的同時，能很好地落實學生在學習活動中的主體地位;還應當善于幫助學生實現必要的優化，這事實上也可被看成數學學習本質所在。當然，我們也應當密切聯系教學實踐，在這一方面作出新的思考和研究。例妝口，就數學教學中的“問題引領”而言，以下是一些特別重要的問題：我們應當如何處理“生問”與“師問”、“大問題”與“問題串”之間的關系？我們又應當如何超出知識的學習，從更廣泛的角度認識“問題引領”的意義？——對此，也可參見筆者發表在《小學數學教師》2021年第3、第4期的《“問題引領的數學教學”：問題與思考》一文。

總之，書中的相關論述仍可被看作為一線教師實現專業成長指明了努力的方向，特別是，我們應當很好地處理理論學習與教學實踐之間的關系，努力做好“理論的實踐性解讀”和“教學實踐的理論性反思”，因為這在很大程度上可以被看成一線教師實現專業成長的關鍵;我們還應當抓好“案例分析”這一重要的切入點，從而切實防止理論與教學實踐相互分離的現象。

此外，希望讀者在閱讀時也能通過積極的思考做好“消化與理解”的工作，包括聯系實際教學，在這一方面作出新的思考和研究。例如，在筆者看來，以下就是這一方面特別重要的兩個問題：究竟什么可以被看成數學教育的基本問題？什么又是這一方面的主要結論？——對此，也可參見《數學深度教學的理論與實踐》的“代序”。

再轉向這一著作的前一論題。筆者在這一方面的核心觀點是“為學生思維發展而教”。筆者對這一主張進行論證的基本路徑是：以“走向核心素養”這一總體性教育思想作為分析、研究的直接基礎，包括我們應當如何把握數學核心素養的具體含義。從現今的角度看，書中的觀點（見書的第一部分）應當說也是正確的，盡管對其具體內容也有必要作出進一步的分析、研究，從而才能在現實中發揮更大的作用。

比如，書中關于與小學數學直接相關的各個具體數學思想的分析對實際教學工作顯然就有直接的指導意義，包括這樣兩條基本的原則：第一，作為“數學思想”的具體分析，重要的并不在于如何無一遺漏地列舉出所有相關內容，乃至如何對此作出嚴格的層次區分，而在于更加重視如何針對具體的知識內容揭示其所蘊含的數學思想和數學方法;而且，相對于“戴帽穿靴”式的純形式追求，又應更加注重如何以相關的認識帶動、促進具體知識內容的教學，從而將數學課真正“教懂、教活、教深”——對此，詳可參見筆者1991年在廣西教育出版社出版的《數學方法論》一書。第二，除去立足具體內容進行分析以外，又應十分重視跳出細節，從更高的層面進行分析，真正做好“居高臨下”，包括總體性的綜合分析，以及“高層次數學思維”的滲透與指導。例如，“算術（代數）思維”與“幾何思維”究竟有什么不同？它們對促進學生的思維發展各有什么特殊的作用？這兩者又有什么共同點？或者說，什么可以被看成小學數學教學的主要聚焦點？再者，我們顯然也應從“居高臨下”這一角度更好地理解書中所提到的各個數學思想。例如，比較與“一一對應”的思想，從形式上看，似乎僅涉及自然數的認識，事實上，卻具有更加普遍的意義，我們甚至應當將“比較”看成小學數學教學中最重要的概念之一。當然，這也是我們在教學中應當十分重視的問題，即針對學生的年齡特點很好地把握教學的“度”，如對“比較”這一概念具體含義的不同解讀。

還應強調的是，依據前一原則，我們顯然也可以更好地理解這一部分的論述為什么只集中于“數的認識”和小學幾何內容的教學，而沒有涉及“統計與概率”和“綜合與實踐”這兩個領域。

另外，后一原則是我們在討論“小學數學教學的大道理”時也應當特別重視的一點，從而才能真正起到“居高臨下”的指導作用——對此，也可參見筆者發表在《教學月刊·小學版（數學）》2021年第5期的《小學數學教學“大道理”之深析》一文。有興趣的讀者還可以從這一角度對數學課程標準中提及的各個“核心概念”或“核心素養”作出自己的分析，包括與我國著名數學家、計算機科學家張景中院士的相關論述進行直接的比較。①因為在筆者看來，由此我們即可更清楚地認識到加強研究對切實做好數學課程標準修訂工作的特殊重要性。

最后，需要再次強調的是，作為一線教師，我們也應當切實加強自身在這一方面的獨立思考，包括結合教學對相關的數學思想作出進一步的梳理;還應當堅持圍繞數學教育的基本目標進行分析、思考，因為只有這樣，我們才能很好地弄清努力的方向，特別是，究竟什么可以被看成做好數學教學的關鍵。后者也正是筆者的另一著作《數學深度教學的理論與實踐》的直接主題。

二、從《小學數學教育的理論與實踐》到《數學深度教學的理論與實踐》

通過兩部著作的比較，特別是異同點的分析，可以更好地理解后者的意義，包括在前者出版的三年后，筆者為什么又要圍繞“數學深度教學”撰寫一部新的著作。

第一，對“核心素養”的強調可以被看成這兩部著作的一個重要共同點，而兩者的區別主要在于：撰寫《小學數學教育的理論與實踐》時，“走向核心素養”還是一個較新的主張，從而即使是最基本的一些理論問題，也有深入研究的必要，如這一主張與人們早已熟悉的“素質教育”有什么不同，什么又是實現相關目標的主要途徑，特別是，相對于傳統的學科分類而言，我們現在是否應當更加強調所謂的“整合教育”，等等;與此相對照，撰寫《數學深度教學的理論與實踐》時，經過這些年的探索，人們在這些方面的認識則可說已逐步趨于一致，特別是，就數學教育而言，這可以被看成“走向核心素養”給我們的主要啟示，即應當跳出單純的學科視角，從更廣泛的角度認識數學教育的作用與任務。由此，這便是兩部著作最重要的共同點，即認為數學教育的主要任務是促進學生思維的發展，特別是，應當幫助學生逐步地學會更清晰、更全面、更合理、更深入地思考，也即努力提升他

①參見：張景中.張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021。

們的思維品質。

除去純理論的研究以外，我們當然也應十分重視如何能在教學中很好地加以落實。從這一角度，我們也可以看到兩部著作的又一區別：盡管《小學數學教育的理論與實踐》已從教學實踐的角度進行了初步的探索，包括明確地提出了“用‘深度教學落實核心素養”的思想（見書的第五章），但在《數學深度教學的理論與實踐》中，“數學深度教學”才成為直接的主題，包括從理論與實踐這兩個方面對此提供了較為系統、完整的分析。

第二，除去局限于從狹隘的學科視角進行分析以外，這也是現實中我們應當注意防止與糾正的又一錯誤傾向，即滿足于簡單套用“大教育”的論述，卻未能針對數學教育的特殊性作出更加深入的分析、研究。具體地說，盡管我們的確可以由一般教育領域中關于“深度學習”的研究獲得關于如何做好“數學深度教學”的有益啟示，但這無疑是一種過于簡單化的認識，即認為我們作為數學教育工作者所需要的只是將相關的一般性理論直接搬用到自己的領域，甚至還可以按照以下的統一模式解決各個學科如何做好“深度學習”的問題：“一般性理論十學科實例”。

在這一方面，我們還應清楚地看到這樣兩個事實：

（1）相應的一般性理論事實上有一些明顯的不足。例如，一般性理論指出：“深度學習‘深在哪里？首先‘深在人的心靈里，‘深在人的精神境界上，還‘深在系統結構中，‘深在教學規律中。”①這一論述清楚地表明，如果相關研究局限于一般的分析，未能深入各個學科中，就很容易出現這樣的弊病，即形式上十分“高、大、上”，事實上卻十分空泛。再如，任何稍有一點教學經驗的人也一定會有這樣的認識：如果教師未能做好“深度教學”，學生就不可能真正做好“深度學習”，因此，相對于“深度學習”而言，我們顯然應該給予“深度教學”更大的重視。

（2）盡管我們不應將“數學地思維”與“通過數學學會思維”絕對地對立起來，幫助學生很好地做到“三會”應當說也有一定的合理性，但這兩者主要地又都可以被看成狹隘專業視角的體現，因為，數學思維不是唯一合理的思維形式，所說的“三會”也并非適用于所有的工作與場合。與此相對照，為了讓所有學生通過數學學習都能有真正的收獲，特別是，除去基本的數學知識與數學技能以外，在離開學校后還能留下一些真正有用的東西，我們應當牢固地樹立這樣的認識：數學教學必須超越具體知識和技能而深入思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質的提升，并應幫助學生由在教師（或書本）指導下進行學習逐步轉變為學會學習，包括善于通過同學之間的合作與互動進行學習，從而真正成為學習的主人。這也正是筆者倡導的“數學深度教學”的主要含義。

顯然，上述分析清楚地表明了《數學深度教學的理論與實踐》即使在當前，仍然具有重要的現實意義，包括從理論與實踐這樣兩個方面對此作出系統、完整分析的重要性。

比如，由于“深度教學”顯然可以被看成數學教學的一個傳統要求，因此，我們就應注意分析現在所說的“數學深度教學”究竟有哪些新的含義和現實意義，以及哪些工作又可被看成對數學教學具有特別的重要性，

①劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養（理論普及讀本）[M].北京：教育科學出版社，2018：36-37。

或者說被看成做好數學教學的關鍵。另外，如果說這正是《小學數學教育的理論與實踐》的一個重要特點，即突出地強調了數學思想的分析應當與教學內容密切相關，那么，以下工作顯然就可以被看成具有“補缺”的性質，即針對學生的年齡特點很好地確定各個學段思維教學的主要目標。后者即指，應當由較低水平的“了解和適應”逐步過渡到“理解與欣賞”，直至“深度學習”這一更高的層次（見《數學深度教學的理論與實踐》的3.2節）。

綜上，相對于《小學數學教育的理論與實踐》而言，《數學深度教學的理論與實踐》可以被看成一個重要的進步。

第三，由對照比較，我們可以對所說的“進步”有更好的理解：

（1）從縱向的角度看，如果說人們在先前往往比較注重教學的“實”“活”“新”（周玉仁語），那么，我們在當前就應更加強調一個“深”字，即通過“深度教學”努力提升學生的核心素養;從橫向的角度看，如果說“用詩意的語言感染學生”是語文教學應當努力實現的一個境界，那么，數學教師的主要責任就是“以深刻的思想啟迪學生”。

（2）這是相關人士關于數學課程標準修訂工作的一個總結：“2001年，新一輪課程改革浪潮掀起。數學課程改革順應改革潮流，提出了‘知識技能+過程方法+情感態度的三維目標，歷史上第一次把‘過程作為數學課程目標提出。到了2011年，數學課程在總結過去十年的改革經驗的基礎上，進一步提出了以‘四基、四能為代表的目標體系，把與學生長遠發展關系更為密切的目標元素，如思想、經驗、發現問題和提出問題的能力等，納入數學課程的目標體系……2021年……中國數學課程總結過去二十年的改革經驗，按照培育核心素養的要求，系統構建了以‘三會為代表的基于核心素養的目標體系……我相信，這將成為一份令人滿意的答卷。”①但是，除去簡單地提及由“三維目標”到“四基、四能”再到“三會”這樣一個發展線索以外，究竟什么可以被看成這一方面的真正進步？什么又可以被看成這些年的課改實踐給予我們的主要啟示和教訓？例如，我們如何能從數學教育的角度對“三維目標”的含義作出更清楚的說明，包括對這三者之間關系作出更深人的分析？我們又是否仍應將“基本經驗（的積累）”看成提升學生數學核心素養的一個重要途徑，或者說，我們應當如何認識與解決這一主張的局限性？

更一般地說，筆者十分希望相關人士也能加強總結、反思與再認識的工作，包括認真的學習和深入的研究，而不要滿足于簡單的詞語轉換，如局限于將原來的“核心概念”直接轉譯為“（數學）核心素養”，也不應將簡單的羅列和隨意的歸類看成重要的創新，如將“數學的眼光”“數學的語言”和“數學的思維”絕對地分割開來，并將“核心素養（的表現）”簡單地歸屬于這三者，事實上卻沒有任何的新意。當然，進步是不可避免的，盡管這主要地不能被歸因于數學課程標準的指導或影響。例如，就小學數學教育而言，以下就是一些主要的進步：我們已由主要關注教學方法等“顯性成分”轉向了更深層次的

①孫曉天，邢佳立.中國義務教育：基于核心素養的數學課程目標體系——孫曉天教授訪談錄[J].教學月刊·小學版（數學），2021（11）：11-15;孫曉天，邢佳立.中國義務教育：基于核心素養的數學課程目標體系——孫曉天教授訪談錄（二）[J].教學月刊·小學版（數學），2022（1/2）16-19。

思考，特別是，什么是做好數學教學的關鍵;已由單純的“一課教學”轉向了“整體觀念指導下的數學教學”;已由關于“三維目標”的一般論述聚焦到“努力促進學生思維的發展”——對此，詳可參見筆者發表在《小學數學教師》2022年第1期的《中國小學數學教育：回顧與展望》一文。

應當強調的是，盡管上述分析似乎已經超出了本文的范圍，但在筆者看來，這恰好又更清楚地表明了《數學深度教學的理論與實踐》的理論價值和現實意義。當然，從發展的角度看，我們在這一方面還有很長很長的路要走。

第四，這可以被看成“進步”的又一含義，即就教師的專業成長而言，《數學深度教學的理論與實踐》已超出教學方法和教學能力，而涉及一些更加基本的問題：我們應當如何把握專業成長的基本含義和主要方向？什么又可被看成優秀數學教師應有的素養？什么是專業成長的基本途徑？……顯然，如果對此缺乏清醒的認識，那么，即使我們已經很好地掌握了各種教學方法并具有較強的教學能力，現實中也很可能只是充當了“應試教育”的執行者;即使我們具有很強的改革意識，現實中也很可能始終處于“忙、盲、茫”的狀態;即使我們已經獲得了各種各樣的榮譽和光環，也可能完全忘卻了教師的初心和使命，從而也就根本談不上任何真正的人生價值。

最后，無論就《小學數學教育的理論與實踐》還是《數學深度教學的理論與實踐》而言，在總體上又都可以被看成這樣一種努力的具體體現，即我們如何能夠創建出符合時代需要、具有鮮明中國特色的數學教育理論。或者說，所有這些工作的主要目標就是能從各個角度為這一目標的實現奠定一定的基礎。讀者也可以從這一角度更好地理解《數學深度教學的理論與實踐》中關于“中國數學教育”主要特色的界定與分析（見書的第一部分），包括這樣一個認識：重要的并不在于如何能夠讓國外同行聽到我們的聲音，而是我們如何能夠通過總結、反思和再認識，更有效地促進中國數學教育的發展，特別是明確前進的方向。