高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

摘 要：數(shù)學(xué)建模能夠直觀體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)規(guī)律，將抽象概念與具體現(xiàn)象聯(lián)系起來(lái)，作為核心素養(yǎng)的組成部分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)對(duì)于學(xué)生的思維和能力發(fā)展具有不容忽視的作用.數(shù)學(xué)建模是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，需要學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法從具體的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的主要規(guī)律，忽略次要因素的影響，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.所以筆者從日常數(shù)學(xué)教學(xué)課和數(shù)學(xué)建模課分別對(duì)培養(yǎng)策略進(jìn)行研究討論.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）27-0029-03

1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)認(rèn)知

數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)世界的具體現(xiàn)象運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析、概括，探索其中蘊(yùn)含的共性和本質(zhì)規(guī)律，它既是推動(dòng)社會(huì)也是推動(dòng)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的動(dòng)力.在核心素養(yǎng)的背景下，數(shù)學(xué)建模受到教師和學(xué)生的重視，是核心素養(yǎng)不可或缺的內(nèi)容之一，可見其在高中階段的重要性.結(jié)合數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，不難看到，數(shù)學(xué)建模具有豐富的內(nèi)涵與外延，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，與其它素養(yǎng)渾然天成.數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出和發(fā)現(xiàn)需要數(shù)學(xué)抽象、直觀想象能力，在分析問(wèn)題和建立模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)需要邏輯推理能力，在參數(shù)確定和實(shí)際運(yùn)算時(shí)運(yùn)算能力就顯示出其特有的價(jià)值，在檢驗(yàn)結(jié)果和解決問(wèn)題的最后步驟需要數(shù)據(jù)分析能力.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)不僅能夠簡(jiǎn)化紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，也有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)重要性

數(shù)學(xué)建模在其產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中，一直與實(shí)際生活密切相連，數(shù)學(xué)建模連接數(shù)學(xué)抽象與現(xiàn)實(shí)生活，能夠便捷、高效的構(gòu)建模型解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.生活中我們可以看到各類數(shù)學(xué)模型在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域百花齊放，例如，微生物種群的增長(zhǎng)曲線模型，醫(yī)藥學(xué)中的疾病靶向模型，經(jīng)濟(jì)學(xué)投資最優(yōu)組合模型，社會(huì)學(xué)中人口增長(zhǎng)與拐點(diǎn)模型等等.數(shù)學(xué)建模不僅能夠幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能夠聯(lián)系社會(huì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生能力和素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過(guò)程給學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立猜想、驗(yàn)證和實(shí)踐的機(jī)會(huì)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與水平.

3 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

3.1 常規(guī)課中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

3.1.1 將問(wèn)題情境化

數(shù)學(xué)建模能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律，反映數(shù)學(xué)模型各個(gè)因素之間的相互關(guān)系和作用，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的具體問(wèn)題或現(xiàn)象進(jìn)行抽象處理是建模的首要任務(wù).筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將問(wèn)題情境化，讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，不僅能提高學(xué)生的抽象能力，還可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的感知能力.

例1 新授課：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）.

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛.對(duì)于本節(jié)課的教學(xué)方案一：研究函數(shù)圖像與性質(zhì)，然后應(yīng)用解決實(shí)際問(wèn)題.方案二：用新媒體技術(shù)對(duì)存在于中國(guó)古代很長(zhǎng)時(shí)間的簡(jiǎn)車從河道中取水進(jìn)行灌溉的過(guò)程有效展示，并進(jìn)行相關(guān)介紹，創(chuàng)設(shè)情境.然后對(duì)簡(jiǎn)車灌溉的各個(gè)因素進(jìn)行分析和設(shè)定：河中的水流速度是一個(gè)定值、簡(jiǎn)車灌溉主要依靠水流推動(dòng)簡(jiǎn)桶將水從低處運(yùn)輸?shù)礁咛?，因此，?jiǎn)桶在恒定水流的推動(dòng)下做圓周運(yùn)動(dòng)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行各項(xiàng)數(shù)學(xué)關(guān)系梳理.隨著時(shí)間t，簡(jiǎn)桶離開水面的相對(duì)高度H如何變化，是否二者具有一定的函數(shù)關(guān)系，可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型嗎？簡(jiǎn)桶運(yùn)動(dòng)的速度和軌跡與哪些因素相關(guān)？

經(jīng)過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，以生活中的簡(jiǎn)車灌溉為基礎(chǔ)探索其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ），聯(lián)系實(shí)際，活化數(shù)學(xué)符號(hào)A，ω，φ的生活意義，這樣數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)值的改變就能夠引起相關(guān)各個(gè)數(shù)據(jù)的改變，從而能夠探索出簡(jiǎn)車最優(yōu)效率的參數(shù)，解決實(shí)際的問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).該問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生對(duì)此函數(shù)模型的性質(zhì)和應(yīng)用有了具體感知，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)原理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題如：游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪數(shù)學(xué)模型、潮汐發(fā)電運(yùn)動(dòng)模型、海水漲潮與退潮模型、交變電流模型等等，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)都是y=Asin（ωx+φ）模型，這樣就解決了一類數(shù)學(xué)建模問(wèn)題.在教學(xué)過(guò)程中將問(wèn)題情境化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型形成的全過(guò)程，真實(shí)體驗(yàn)通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)觀察和分析現(xiàn)實(shí)世界中的一些事情，理解數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)和實(shí)際價(jià)值.數(shù)學(xué)建模過(guò)程也是學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的提升.

3.1.2注重信息的提煉

現(xiàn)階段對(duì)數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用題，學(xué)生會(huì)遇到一個(gè)非學(xué)科性問(wèn)題：題目看不懂.每句話學(xué)生都知道什么意思，但是全部放在一起，條件與條件就“打架”，也就是對(duì)于需要解決的問(wèn)題，學(xué)生不會(huì)區(qū)分，排除干擾條件，正確運(yùn)用關(guān)鍵條件.數(shù)學(xué)建模能夠假設(shè)出理想化模型，就需要區(qū)分因素對(duì)問(wèn)題影響的主次，所以筆者認(rèn)為信息的提煉是正確建立模型的關(guān)鍵.筆者認(rèn)為造成信息提煉的障礙有：專有名詞概念不清，內(nèi)在邏輯不順，不會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換問(wèn)題.所以除了強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也不能忽視語(yǔ)文等其他學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).

例2 習(xí)題課：（2021新高考全國(guó)卷改編）某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)剪紙藝術(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣，發(fā)現(xiàn)剪紙中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以通過(guò)模型來(lái)體現(xiàn)剪紙的對(duì)折過(guò)程和效果.如20dm×12dm規(guī)格的紙，進(jìn)行1次對(duì)折的時(shí)候面積減半，而所得的圖形有兩種規(guī)格，即10dm×12dm，20dm×6dm，二者面積和為S1=240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，三者面積之和S2=180dm2，以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

本題分為兩空，考查的知識(shí)點(diǎn)就是運(yùn)用錯(cuò)位相減法求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)學(xué)生而言應(yīng)該是基礎(chǔ)知識(shí)，但此題的正確率不高，問(wèn)題出現(xiàn)在什么地方呢？首先從問(wèn)題分析，只要明確第一空是特殊情況，那第一空就可以通過(guò)實(shí)際操作，折疊四次得到，沒(méi)有難度.第二問(wèn)，折疊n次的情況，討論一般性，這就需要學(xué)生能夠從已給條件提煉出有用信息：由具體到一般找規(guī)律，折k次擁有k+1種規(guī)格圖形，且每個(gè)圖形的面積為20×122kdm2，從而構(gòu)建等比數(shù)列前n項(xiàng)和模型.在上述過(guò)程中，解題的關(guān)鍵在于學(xué)生是否能夠提取有效信息，完成等比數(shù)列模型的建立.因此在教學(xué)過(guò)程中，教師始終要關(guān)注對(duì)學(xué)生閱讀提取信息能力的培養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ).

3.1.3 應(yīng)用信息技術(shù)

數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)來(lái)回答復(fù)雜的并基于現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，所以有很多內(nèi)容高中生只能論證其特殊性，然后直接推廣，即只作理論分析，這其實(shí)不利于學(xué)生的求真.而信息技術(shù)的精確性和對(duì)大數(shù)據(jù)的應(yīng)用，為豐富數(shù)學(xué)建模內(nèi)容、驗(yàn)證研究結(jié)果等提供了條件.計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用在數(shù)學(xué)建模計(jì)算求解和檢驗(yàn)結(jié)果環(huán)節(jié)必不可少，所以在數(shù)學(xué)課堂中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算或抽象模型可借助計(jì)算機(jī)軟件解決問(wèn)題，而并非無(wú)從下手或無(wú)解.

例3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性.

情境1 動(dòng)畫視頻引入，直觀感知：在漆黑的夜里，你能否僅僅依據(jù)其燈光對(duì)汽車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行判斷，如上坡或下坡？

情境2 幾何畫板或GeoGebra演示，猜想結(jié)論.

導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性都是非常抽象的概念，所以利用生活中的常見問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)切線斜率和函數(shù)增減之間的聯(lián)系，配合課本已知結(jié)論，這樣只情境1已經(jīng)可以讓學(xué)生建立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.接下來(lái)學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：如何證明這個(gè)結(jié)論？這個(gè)結(jié)論的代數(shù)論證需要運(yùn)用極限，現(xiàn)有知識(shí)講不清，那是不是告訴學(xué)生只要記住結(jié)論，大學(xué)再證明？這樣既沒(méi)有代數(shù)論證，也沒(méi)有精確數(shù)據(jù)的支撐，違背數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，不利于學(xué)生素質(zhì)發(fā)展.

在情境1的基礎(chǔ)上，添加情境2，為高中生以后能夠完成數(shù)學(xué)建模提供了無(wú)限可能.運(yùn)用幾何畫板或GeoGebra的演示，我們可以精準(zhǔn)得到圖象上每一點(diǎn)處切線的斜率隨函數(shù)單調(diào)性的變化情況，雖然不能代數(shù)論證，但從“數(shù)”的角度，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般提煉一般結(jié)論，同時(shí)為學(xué)生可能產(chǎn)生的懷疑，提供了論證工具.以信息技術(shù)輔助學(xué)生探索與猜測(cè)，全面具體的展示數(shù)學(xué)建模整個(gè)過(guò)程，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)理性思維方式，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展具有積極意義.

3.2 數(shù)學(xué)建模課中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力提出了較高要求，而學(xué)生從獲得知識(shí)到知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用是一個(gè)長(zhǎng)期實(shí)踐積累的過(guò)程，高中階段的學(xué)生，其建模能力的不足決定數(shù)學(xué)建模教學(xué)不是以學(xué)生獲得數(shù)學(xué)模型為依據(jù)判斷學(xué)生是否具備數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，而是在學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程中，提高學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)合作交流，激發(fā)創(chuàng)新思維.

首先，學(xué)生需要體驗(yàn)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，只有經(jīng)歷感受過(guò)，學(xué)生才不會(huì)片面的認(rèn)知數(shù)學(xué)建模，才能理解什么是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，進(jìn)而提升素養(yǎng).

其次，數(shù)學(xué)建模課需要充分遵循教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位.數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)實(shí)情境包含大量信息，通常會(huì)與化學(xué)、物理、生物等學(xué)科相關(guān)，解讀的視角多樣，這就需要學(xué)生提前搜集材料做好準(zhǔn)備工作，才能厘清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，提出有價(jià)值的問(wèn)題.影響現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的因素通常是非常復(fù)雜的，需要學(xué)生梳理各因素間聯(lián)系，才能明確干擾因素與關(guān)鍵因素，進(jìn)而體驗(yàn)排除干擾因素，保留關(guān)鍵因素，理想化實(shí)現(xiàn)問(wèn)題.簡(jiǎn)化問(wèn)題后，讓學(xué)生體驗(yàn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，搜集相關(guān)數(shù)據(jù)，刻畫變量間關(guān)系，提出模型假設(shè)，這是建模的關(guān)鍵步驟.模型初步建立，讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)得到問(wèn)題的解，教師可以提供信息技術(shù)輔助學(xué)生進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和檢驗(yàn)，最后交流討論，優(yōu)化模型.整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程都必須遵循學(xué)生是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的主體，否則建模就容易失去其獨(dú)特性與創(chuàng)造性，變成應(yīng)用題教學(xué).數(shù)學(xué)建模是學(xué)生的研究活動(dòng)，教師不能過(guò)度指導(dǎo)，當(dāng)然教師的指導(dǎo)和幫助也是必不可少的，這也對(duì)教師的教學(xué)能力提出了更高要求.

最后，小組合作學(xué)習(xí)應(yīng)該是數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)的主要模式.我們知道數(shù)學(xué)建模一般有六個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都是復(fù)雜、繁瑣的，且都具有開放性，而高中生的時(shí)間和精力都是有限的，所以小組合作必不可少.在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，小組交流可以促進(jìn)學(xué)生想法和觀點(diǎn)的開拓和整合，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，而小組工作分配，有利于全面高效的開展建模工作，給學(xué)生一個(gè)展示自我能力的平臺(tái)，展現(xiàn)自我價(jià)值.

數(shù)學(xué)建模走進(jìn)高中課程，就是要對(duì)傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式進(jìn)行革新與改變，提高學(xué)生的主動(dòng)性和培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)創(chuàng)新與合作意識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，需要教師不斷地實(shí)際探索，要在教學(xué)內(nèi)容、策略、方法等方面不斷反思、不斷改革、不斷提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 梁貫成，賴明治，陳艷萍，喬中華（編譯）. 數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南[M].上海：上海大學(xué)出版社，2017.

[3] 史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[4] 王萍，薛紅霞，李龍才.單元教學(xué)設(shè)計(jì)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2020（1-2）：54-62.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者簡(jiǎn)介：欒文靜（1994.5-），女，江蘇省鎮(zhèn)江人，研究生，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.