核心素養理念下初中數學動態幾何問題的研究

黃文趁

［摘 ?要］ 動態幾何問題是初中數學教學的重點和難點，不僅要求學生熟練掌握基礎知識，還要求學生具備較強邏輯思維和直觀想象能力. 在中考試卷中，動態幾何試題常常以壓軸題形式出現，這要求學生具備較強的數學綜合能力. 初中數學動態幾何問題是初中數學教學的重點，也是中考數學考查的重點，值得初中數學教師深入研究.

［關鍵詞］ 核心素養；初中數學；動態幾何問題

在中學數學教學中，學生普遍反映動態幾何知識很難，部分學生還存在著抗拒心理，不愿意積極學習相關內容，究其原因在于對該部分知識的認識不到位，不能準確掌握數學知識體系. 結合近幾年中考數學試卷來看，動態幾何問題往往以壓軸題的形式出現，考查的知識點在不斷變化，如何結合核心素養理念提升學生初中數學動態幾何解題能力成為教師數學課堂關注的焦點，應當予以足夠重視.

幾何動態問題解答中常見的問題

一般來說，初中學生在動態幾何問題解答中常會遇到以下問題：（1）不重視歸納總結，試題練習完后忽視了總結歸納，容易出現丟分現象，失去了學習信心；（2）閱讀能力較弱，動態幾何問題的題干信息量豐富，很多人內心具有恐懼心理，考試中缺乏足夠的耐心閱讀題干材料，導致解題失敗；（3）未能把握問題本質，忽視了試題背后的數學思維，教師也未能培養學生靈活運用數學知識的能力，思維方式僵硬死板，不利于解答數學問題；（4）忽視了輔助線的作用，而解決動態幾何問題時輔助線至關重要，關乎到學生對知識的理解和掌握，但大多數學生不能快速、準確地畫出輔助線，導致解題時間較長；（5）數形結合應用對動態幾何解題過程至關重要，能幫助學生把復雜問題簡單化、抽象問題具體化，但很多學生在解題時忽視了數形結合思想的作用，解題步驟煩瑣.

核心素養理念下初中數學動態幾何問題教學策略

1. 注重知識分類

近些年來，初中數學試卷越來越重視考查學生的核心素養，統計動態幾何問題會發現，該類試卷大多數以函數為背景來探究幾何圖形在運動中的變化規律. 每次考試后，教師要引導學生進行總結歸納，尋找和發現試題解法，找到普遍性解題方法. 很多學生心中認為動態幾何問題并沒有解決的通用方法. 實際上，通過總結能夠發現試題類型，根據類型可以選擇合適的解題方法和思路.

根據統計分析，動態幾何問題一般分為兩類試題：（1）點動型動態幾何問題，即圖形中的一點在線段、射線或直線上做某種規律運動，探究該點在運動中產生的函數關系或幾何圖形變化規律. 實際解題中，點動型問題又分為單點動問題和雙點動問題，判斷出點動型后結合函數的相關性質進行求解能夠簡化求解思路，找到正確的解答方式. （2）線動型動態幾何問題，即直線、線段在平面直角坐標系或其他幾何圖形中做運動，需要結合圖形性質尋找思路求解問題. （3）圖形動問題，即學過的三角形、四邊形或圓形等基本幾何圖形進行整體平移、翻折等運動，在運動過程中出現長度、面積等變化，進而探究變化規律，找到問題的求解方法.

2. 認真審好題目

在數學問題求解中，受限于時間和解題習慣，很多學生花費很少時間來審題導致找不到題干中的關鍵信息. 數學教師講課時要重視培養學生良好的讀題和審題的習慣，厘清題干信息中的圖形關系，必要時分解題目找到其中的數量關系和圖形關系，從而把抽象表述變得具體化. 俗話說，“磨刀不誤砍柴工”，初中生在解答動態幾何問題時要重視審題過程，找到關鍵信息之間的聯系，為正確解答問題做好鋪墊.

例如，在直角三角形ABC中，斜邊AB=5，直邊BC=4，點D在邊BC上運動. 令CD=x，AD=y，試構建起y關于x的函數關系式. 在試題分析中，學生首先畫出圖形，發現這是一道典型的動態幾何（單點動）與函數知識相結合的問題. 材料顯示△ABC為直角三角形，AB為斜邊，動點D在直邊BC上運動，根據AB，BC的值求出AC的值，借助勾股定理實現幾何問題向函數問題轉化. 在△ACD中，可知AC=3，CD=x，AD=y，根據勾股定理得y=，x的取值范圍為［0，4］. 畫出圖形、解析題干信息后，學生找了到函數關系，列出公式即可求解.

3. 把握問題本質

數學學習中，大多數學生解題后并不思考是如何解答的，做完后就把問題放下不管，這是一種錯誤的做法. 在問題求解中，學生要找到問題的關鍵所在，發現題干信息中的關鍵點，把握問題本質，找到正確思路有效求解問題. 另外，數學問題分析和求解中要關注題干背后隱藏的知識點之間的聯系，抓住關鍵信息進行求解，提升解題的正確率.

例如，如圖1所示，已知直線y=kx+b（k≠0）過點F（0，1），與拋物線y=x2相交于B，C兩點. （1）當點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式；（2）在第（1）問的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線相交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M，D，O，F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

第（1）問較簡單，學生只需要根據待定系數法求解即可. 對第（2）問求解，需要根據方程思想列出公式，即設M，D點的坐標，根據M，D，O，F為頂點的四邊形為平行四邊形得到MD=FO，由此求出M點的坐標. 本題求解中，要抓住題干中的本質內容即MDOF為平行四邊形求解.

4. 掌握解題規律

解題規律對學生來講至關重要. 解題規律針對著命題規律，針對著某類題型隱藏背后的規律，因此只有掌握好解題規律才能擺脫對“題海戰術”的依賴，學習效率才能更高、效果更好. 掌握解題規律一方面要在課后總結好解題方法，另一方面要進行適度練習. 練習中難免會出現錯題，應結合錯題找到錯誤原因、梳理出解題方法——題錯了，說明有的知識點沒有掌握好，是計算過程出現了錯誤，還是審題出現了錯誤，或解題思路不對？從中總結經驗，針對遇到的問題找到解決方法.

以函數動點求三角形的面積為例，本類問題往往是尋找函數動點求其與兩定點圍成的三角形面積的最大值或定值. 在圍成的三角形中，若一邊固定，求其面積往往就轉化為點到直線的距離. 例如，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，拋物線對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M. （1）求拋物線的解析式；（2）第一象限內拋物線上存在點D，使得△BCD的面積最大，求出點D的坐標和△BCD面積的最大值.

第（1）問較簡單，利用A，B點的坐標即可求出拋物線的解析式. 針對第（2）問，如圖2所示，過D點作DH⊥x軸，則△BCD的面積為S=S+S-S，通過面積轉化求出D點的坐標和△BCD面積的最大值. 本題考查了二次函數、梯形、三角形等多種知識點，過D點作輔助線的方法具有普遍意義，學生練習后要總結出普遍的解題規律.

5. 應用數形結合

初中數學相對于小學數學，知識內容和數學思想方法都有所增加，特別是數形結合思想方法，初中的動態幾何問題更是離不開應用. 動態幾何問題教學中，教師要關注學生對數形結合思想方法的應用，幫助他們遇到動態幾何問題時能夠立刻想起數形結合思想方法，運用數形結合思想方法指導學生走出學習誤區，利用數形結合思想方法提升初中生做題的速度，強化解題正確率，提升個體應用水平.

在一次課堂練習中，有這樣一道試題：已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點. （1）求拋物線的解析式；（2）在y軸上是否存在著點M，使△ACM為等腰三角形？請說明理由. 經過分析，該試題是一道關于二次函數的動點問題，學生把A，B，C三點的坐標代入拋物線很容易求出其解析式. 求解第（2）問時，很多學生缺乏解題思路，面對這一情況，教師需要幫助學生利用數形結合思想方法討論△ACM為等腰三角形時表現出來的性質，即討論AC為腰或底時，是否能夠建立起關于M點坐標的方程. 在數形結合思想方法的引導下，學生從中能夠找到解題的關鍵所在. 數形結合思想方法在學生解決數學問題時至關重要，教師要予以正確引導，明晰求解思路，為正確作答做好準備.

總之，初中數學動態幾何問題作為近些年考試的熱點，數學教師要從上述幾個方面幫助學生構建知識體系，結合常見問題進行教學，提升動態幾何問題課堂教學效果.