從“學會”到“會學”

劉永鑫

一、關注學法：怎樣研究規律

【教學片段一】

師：要想學習2、5的倍數特征，我們應該怎樣去學呢？

生1：找出2、5倍數的特征有什么規律。

師：你的意思是先找出2、5的倍數，我們先以一個數為例，比如5，找5的倍數特征。我們手中有一個表格，1～100的表格，它就叫“百數表”。想研究5的倍數，你想怎么做？

生2：先從表里找出5的倍數。

師：找出來后，下一步你要干什么？

生3：把5和2的倍數找出來后，再摸索它們的規律。

師：他用了一個很好的詞——摸索。我們慢慢地去發現它的規律，摸索一下5的倍數有什么規律。

【賞析】上課伊始，孫老師以一個大問題驅動學生進行思考，滲透研究學習的方法，把探究的主動權交給學生，讓學生決定研究的方向——尋找、觀察、發現。簡單質樸的引入，卻能為后續更深層次的研究做好鋪墊。

二、探索規律：5的倍數特征是什么

【教學片段二】

師：說一說我們找到5的倍數都有哪些？

生1：5的倍數有第一排的第5個，就是5，然后10、15……

師：誰能用數學語言、簡單的話說一下。

生2：依次加5。

師：怎樣才能把5的倍數一下都說全了？

生3：第5列和第10列的全部。

師：他用了數學語言中的一個詞“列”，5的那一列和10的那一列都是5的倍數。接下來該進行我們的第二步——找規律，看看你們都找到了什么規律。剛才有同學說依次加5，5到10，45到50，我們橫著看，從小加到大是依次加5，當我們的角度不同的時候帶來的結果就會不同。還有沒有其他的規律？

生4：豎著都是加10。

師：他還關注到了每次加10，5到15……受這個啟發，如果我們跳著看呢？跳一個每次加10，跳兩個呢？加20，還有不同的嗎？

生5：第5列個位都是5，第10列個位都是0。

師：同學們發現了5的倍數具有這樣的特征，想一想我們都發現了什么特征呢？橫著看加5，豎著看加10，個位都是5或者是0。我們把5的特征研究完了。考考你，1037是不是5的倍數？

生6：不是，它跟我們發現的規律不同，個位不是5或0。

師：她應用了我們發現的規律。為什么不應用依次加5的規律呢？

師：如果我們一直加5是不是也能試出來？只是太麻煩了，數學要追求簡潔。125是不是5的倍數？

生7：是，因為個位是5。

師：你為什么不用加10加10的規律判斷呢？從百數表中95開始加，加到125，和剛才加5的規律來判斷哪個更簡單呀？

【賞析】5的倍數易找但規律多，在探索過程中孫老師適時地介入，進行追問、提示，幫助學生開展對5的倍數規律的探索。孫老師追問學生怎樣能把5的倍數說全，引導學生從不同的角度去觀察5的倍數規律，得到了幾種不同思維層次的規律，再以各種正、反例引導他們發現更為一般、本質的規律。

三、由表及里：從是什么到為什么

【教學片段三】

師：我們發現了5的倍數特征，你們都同意嗎？我不同意！剛才我們的研究是借助百數表，只研究了100個數，100個數后面的你們研究了嗎？我只舉了2個100后面的數，所以現在我們說5的倍數特征是個位是0或5，只能說是100以內的，100以外的你們看都沒看。那我們要追問自己一句——都是這樣嗎？后面這些數都這樣嗎？得自己舉一些例子試一試。

生1：我舉的例子是1245，用它除以5，還沒算完。

師：1245除以5得249，正好除盡，是5的倍數。

生2：110是5的倍數也是2的倍數。

師：怎么判斷的？

生2：個位是0，110÷5=22，是5的倍數。

生3：12027不是5的倍數。

師：要驗證5的倍數特征，不僅僅要驗證是5的倍數的那些數，還要驗證反例，那現在我們可以認可這個結論了，有不同意的嗎？我不同意！

生4：我們只舉了一些例子，還有其他的數。

師：當我們不能把所有的數都舉完的情況下，怎樣能夠驗證呢？研究數學得到一個結論后，要追問自己一句為什么。這一個數前面有這么多位你們都不看，為什么就看個位就完了？同學之間可以商量一下！

生5：因為前面的數除以5沒有余數，再加上個位上的5或0都是5的倍數。

師：還有別的方法嗎？

生6：110，前面的數已經是整十了，不用看。

師：他的想法是對的，比如3□，不管個位，先看30。1個十、2個十、3個十是5的倍數，這個時候我們該看個位了，這時個位是1的數是5的倍數嗎？2、3、4、5呢？可以了，因為前面是5的倍數，后面也是5的倍數，合起來肯定是5的倍數，6、7、8、9、10呢？當滿10向前進1，也是整十，就是5的倍數了。

【賞析】第一個“不同意”，追問5的倍數都是這樣嗎？從百數表內到百數表外，并且驗證時需用到正例和反例，初步感知合情推理中的不完全歸納法。第二個“不同意”，在不能把數窮舉之下，如何驗證？從合情推理導向感知演繹推理，整十數都是5的倍數，所以只需要看個位即可。孫老師引導學生發現5的倍數特征后，還進一步追根溯源，讓學生經歷完整的觀察—猜想—舉例—驗證的過程，知其然且知其所以然。

四、方法遷移：2的倍數有什么特征

【教學片段四】

師：2的倍數特征應該怎樣研究？回憶一下剛才研究5的倍數特征時，我們應該干什么？第一步，找出2的倍數，用○圈起來。第二步，發現了什么？第三步，嘗試100以外的數對不對，都這樣嗎？第四步，為什么？

生1：2的倍數有2、4、6……

師：豎著說更簡單一點，2的這一列，還有……接下來第二步，你發現了什么？

生2：2的倍數個位都是2、4、6、8、0。

師：第三步該做什么？

生3：舉些例子去證明它。

生4：192。

師：是不是2的倍數，算了嗎？結果是？

……

師：為什么我們只看個位？

生5：因為加上后面2、4、6、8、0都能除完。

師：看我們余數加上2、4、6、8、0都能被2整除。那我們先看30，1個十是2的倍數，2個十、3個十呢？7個十，多少個十都是2的倍數了，所以這時候我們就看個位了，個位上是2、4、6、8、0的就是2的倍數了。個位是幾就不是2的倍數了？我們將是2的倍數的數叫作偶數，不是2的倍數的數叫作奇數。觀察2和5的倍數時，我們有一列數都圈了，哪列都圈了？

【賞析】從扶著走到放手讓學生自己走，教會學生研究規律的方法，孫老師讓學生從“學會”走向“會學”。學習的本質不在于學生學會了某項知識，重點在于學生學會方法后，能遷移運用解決同類問題。研究2的倍數特征，圈出2的倍數—發現了什么—都這樣嗎—為什么，四部曲讓學生自然而然地探索出2的倍數特征，為后續學習較難的3的倍數特征打下堅實的基礎。在探索過程中，師生對話、生生互辯，不斷質疑、辨析、完善，學生不僅獲得了數學知識，積累了數學活動經驗，還發展了思維能力。

五、題組練習：能確定嗎

【教學片段五】

練習：比比誰的反應快！5的倍數女生舉手，2的倍數男生舉手！

25、52、7□6、55□

【賞析】練習鞏固表面雖只有一題，卻隱含著題組：①25和52都用到數字2和5，為什么結果不一樣了？②7□6，中間空一個數，還能確定它具備2的倍數特征嗎？③55□，個位是什么數時，原數具備2或5的倍數特征？個位是幾的時候既是2的倍數又是5的倍數？練習貴于精而不在于多，孫老師只用了一題就為學生搭建了思維碰撞的平臺，激發學生思考的興趣，讓思考真正發生。

孫老師的這一節課不僅教會學生要思考，還教會了學生如何研究數學。數學探究活動的教學不僅要讓學生獲得數學知識、積累數學活動經驗，同時也應注重學生理性思維能力的培養。本節課，從知識輸入，到思維產出，學生充分體驗了研究數學的完整過程，真正從“學會”走向“會學”，使得學生獲得深度學習的能力。

（作者單位：廣東省東莞松山湖中心小學 責任編輯：王彬）