發(fā)展小學(xué)生推理意識的教學(xué)思考

丁媛媛　費嶺峰

【編者按】學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的總體表現(xiàn)之一，便是會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。為實現(xiàn)這一目標(biāo)，讓小學(xué)生形成推理意識便成為一線教師亟待解決的問題。如何優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生經(jīng)歷邏輯推理的過程？如何依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)置適當(dāng)?shù)木毩?xí)環(huán)節(jié)？本期話題圍繞小學(xué)生推理意識的強化策略展開探討。

“推理”作為數(shù)學(xué)基本思想之一，在數(shù)學(xué)課程中有著重要的地位。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的“推理能力”分成了推理意識與推理能力兩個維度。意識是指人們對外界和自身的覺察與關(guān)注程度，能力則是指完成一項目標(biāo)或者任務(wù)所體現(xiàn)出來的綜合素質(zhì)。如果說能力指向“能不能做好”的行為表現(xiàn)的話，那么意識便指向“自覺不自覺地去做”的行為狀態(tài)。就意義來說，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到：發(fā)展小學(xué)生的推理意識，有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強交流能力，也是其發(fā)展推理能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中又該如何發(fā)展學(xué)生的推理意識呢？結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)活動，喚醒學(xué)生的推理思維，引導(dǎo)學(xué)生體驗推理表達，嘗試運用推理方法，努力形成推理自覺，等等，不失為發(fā)展學(xué)生推理意識的有效的過程與方法。

一、探究中，喚醒推理思維

推理一般分為合情推理和演繹推理兩種形式。合情推理的特點是基于事物的相同屬性推斷出一般性結(jié)論。演繹推理的特點是從已有事實或規(guī)則出發(fā)推斷出具體結(jié)論。因此，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，首先需要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成一種能夠根據(jù)某種現(xiàn)象去思考現(xiàn)象背后的本質(zhì)，或者基于概念分析問題的思維意識或習(xí)慣。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，具體可以表現(xiàn)為兩種思維意識的養(yǎng)成。

1. 發(fā)展從現(xiàn)象出發(fā)適時歸納的意識。

我們常說，數(shù)學(xué)來源于生活。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，一般是從關(guān)注現(xiàn)象開始的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，也是一個透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，歸納得出數(shù)學(xué)知識（包括規(guī)律、模型等）的過程。這一過程有利于發(fā)展學(xué)生的合情推理意識。比如，我們在教學(xué)“長方形和正方形的面積”這一節(jié)內(nèi)容時，引導(dǎo)學(xué)生通過多個長方形面積探究活動，發(fā)現(xiàn)并歸納出長方形面積計算方法，其間便有學(xué)生推理思維的喚醒與推理方法的應(yīng)用等。我們不妨來看看教學(xué)過程。

教師提出學(xué)習(xí)任務(wù)：求一個長5厘米、寬3厘米的長方形的面積。學(xué)生自主探索——首先，通過動手操作（擺1平方厘米的小方塊），發(fā)現(xiàn)長是5厘米每行可以擺5個，寬是3厘米可以擺3行，得出這個長方形的面積是5×3=15平方厘米。接著，產(chǎn)生新問題：長方形的面積是不是與長和寬有關(guān)呢？“長×寬”算出的就是這個長方形的面積嗎？進一步探究：任取幾個1平方厘米的小正方形，拼成不同的長方形，發(fā)現(xiàn)“長所代表的就是一行可以擺幾個，寬所代表的就是可以擺幾行，長方形的面積就是每一行的個數(shù)乘以擺的行數(shù)”，所以長方形的面積可以用“長×寬”來計算。

以上探索過程中，學(xué)生不但經(jīng)歷了操作、觀察等活動，而且通過多個例證的分析、比較，找到事物的共性，由現(xiàn)象追溯到本質(zhì)，最終得出結(jié)論。這樣的過程，是典型的歸納推理的思維過程。若在教學(xué)實踐中，經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類似的過程，對其推理意識的培養(yǎng)自然會有幫助。

2. 發(fā)展由概念出發(fā)分析問題的意識。

由概念出發(fā)分析解讀數(shù)學(xué)問題的過程同樣也是一種典型的數(shù)學(xué)推理，即基于概念內(nèi)涵對相關(guān)現(xiàn)象作出分析與判斷。雖然這樣的思維要求較高，但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，同樣需要引導(dǎo)學(xué)生適度地經(jīng)歷此類分析問題的過程，有利于學(xué)生經(jīng)歷初步的演繹推理，發(fā)展推理意識。

我們可以來看這樣一個例子。某教師在教學(xué)“三角形的高”這一節(jié)課時，先請學(xué)生自學(xué)課本上有關(guān)“三角形高”的概念定義文字，然后請學(xué)生嘗試畫出一個三角形的高。教師巡視間收集典型材料（如下圖所示），請學(xué)生判斷。

學(xué)生對以上三種情況進行判斷時，需要借助“三角形高”的概念進行說明。這個過程，即是從概念出發(fā)，分析材料狀況，材料一：雖然是從一個頂點出發(fā)的線段，但與對邊相交時的角不是直角，所以不是BC邊上的高；材料二，雖然畫的線段與BC邊垂直，但不是從頂點A出發(fā)的，所以也不是BC邊上的高；材料三，即是從頂點A出發(fā)的，畫的又是頂點A對邊BC邊的垂線，所以這條垂直線段是BC邊上的高。上述以“三角形高”的概念來分析解讀作業(yè)材料，顯然是一個基于概念作出分析，引導(dǎo)學(xué)生初步經(jīng)歷演繹推理的過程。同樣也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中需要培養(yǎng)學(xué)生掌握的一種思考、分析問題的方式。在日常的教學(xué)中，教師若能適時加以引導(dǎo)，以此喚醒學(xué)生的演繹思維，這對發(fā)展學(xué)生的推理意識同樣會有幫助。

二、表達中，體驗推理過程

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理，不需要讓學(xué)生像初中生那樣進行嚴(yán)密規(guī)范的邏輯證明，但是作為學(xué)生推理意識培養(yǎng)的初始階段，還是需要學(xué)生深刻體會推理是一個有序的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，引導(dǎo)學(xué)生形成有條理地思考、有根據(jù)地表達的習(xí)慣，真正實現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的“會思考”“會表達”的素養(yǎng)目標(biāo)。實踐中，我們可以結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點進行適時引導(dǎo)。

1. 結(jié)合專項內(nèi)容的學(xué)習(xí)強化表達。

從教材內(nèi)容來分析，小學(xué)數(shù)學(xué)教材上有一些專門圍繞“推理”的專項學(xué)習(xí)內(nèi)容，教學(xué)此類內(nèi)容時，一定要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一次完整的“有條理”地表達推理過程的機會，從而幫助學(xué)生更好地體驗推理過程，形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

如人教版二年級下冊“數(shù)學(xué)廣角——推理”例1，情境呈現(xiàn)學(xué)生有語文、數(shù)學(xué)、道德與法治三種書，三個小朋友各拿一本，并呈現(xiàn)信息：小紅拿的是語文書，小麗拿的不是數(shù)學(xué)書。判斷小剛和小麗分別拿的是什么書？學(xué)生對于解決問題策略的理解難度不大，本課更主要的目標(biāo)，還是在引導(dǎo)學(xué)生用清晰的數(shù)學(xué)語言有條理、有依據(jù)地表達推理的過程。

當(dāng)學(xué)生答出“小麗拿的是道德與法治書”后，請學(xué)生說出想法：因為三個人中，小紅拿的是語文書，那么還剩下數(shù)學(xué)和道德與法治兩本書；又因為小麗拿的不是數(shù)學(xué)書，那么她拿的一定是道德與法治書了。當(dāng)有學(xué)生答出“小剛拿的是數(shù)學(xué)書”，同樣需要引導(dǎo)學(xué)生說想法：因為三個人中，小紅拿的是語文書，那么還剩下數(shù)學(xué)和道德與法治兩本書；又因為小麗拿的不是數(shù)學(xué)書，那么數(shù)學(xué)書一定是小剛拿了。

因為這節(jié)“簡單推理”課是推理的專項學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以教師更需要引導(dǎo)學(xué)生體會把推理過程表達完整的重要性。在表達的過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生用連線或列表等方式進行展示，可以是先畫再說，也可以是邊畫邊說；可以是列出表格再說，當(dāng)然也可以是邊列表邊說。最終目的在于將推理的過程說完整、說清楚，幫助學(xué)生在推理的過程中發(fā)展推理意識。

2. 結(jié)合生成內(nèi)容的探討相機引導(dǎo)。

對于小學(xué)生而言，發(fā)展推理意識更需要落實在平時的學(xué)習(xí)中，結(jié)合蘊含推理意味的生成性學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生表達推理過程，體驗推理思維，形成對推理過程的切身感受。如在前文所述圖形面積計算方法學(xué)習(xí)的內(nèi)容，當(dāng)經(jīng)過了平行四邊形、三角形的面積計算方法探究學(xué)習(xí)后，在“梯形面積”這一課的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般會將梯形轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形來探究。這些方法也是教師在備課時首先考慮到的內(nèi)容。但在實際的課堂上，還會有學(xué)生采用“直接將一個梯形割補成一個三角形”來探索推導(dǎo)。

當(dāng)出現(xiàn)此類預(yù)設(shè)之外的生成材料時，教師若能讓學(xué)生把分析、思考的過程有條理地表達出來，不僅可以更好地了解學(xué)生的思維過程，同時也是給學(xué)生闡述推理、體驗推理過程的機會。因為學(xué)生要把轉(zhuǎn)化的過程有條理地講清楚、講明白，需要對圖形相關(guān)要素間的關(guān)系，以及變化的過程與注意點，有相當(dāng)清晰的把握與理解。

這種機會在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中還是比較多的。如在“問題解決”的內(nèi)容中，需要有從信息出發(fā)的分析理解，也有從問題出發(fā)的解讀梳理；有兩三步計算問題的信息與信息、信息與問題的關(guān)系分析，解答過程的步驟厘清；等等。推理意識的培養(yǎng)，應(yīng)該落實在平時的課堂教學(xué)中，才能更好地實現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求。

三、運用中，形成推理自覺

推理作為一種基本的數(shù)學(xué)思維方式，教師需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程中加以關(guān)注。當(dāng)學(xué)生有了一定的推理能力后，能夠在運用知識技能解決問題的過程中，自覺地運用推理，并能更好地解決問題，這才是發(fā)展推理意識的重要目標(biāo)。教師在教學(xué)實踐中，可以從以下兩個方面引導(dǎo)學(xué)生努力形成推理自覺。

1. 經(jīng)常性地與學(xué)過的知識作“類比”。

類比，其實是發(fā)展學(xué)生推理意識的常用方法。有類比，學(xué)生可以對事物間的聯(lián)系與區(qū)別把握得更準(zhǔn)確。經(jīng)常性地與學(xué)過的知識作類比，不僅有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，還可以幫助學(xué)生形成良好的推理意識。

比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“雞兔同籠”的內(nèi)容后嘗試解答這樣一個問題：足球比賽中勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。A球隊在一次比賽中，共計得了51分，比賽30場，其中負了7場。這支球隊勝和平各有多少場？解答時，若學(xué)生能夠?qū)⒋藛栴}轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”問題來解答，表明其已經(jīng)有了比較強的推理意識了。我們不妨分析一下此題：球隊共比賽30場，負了7場，那么勝場和平場一共有30-7=23場。此時，剩下的問題結(jié)構(gòu)也就類似于“雞兔同籠”問題的結(jié)構(gòu)了，即23場比賽只有兩種情況，要么勝、要么平。這23場類似于雞兔的“總頭數(shù)”，勝場得3分與平場得1分，又分別類似于兩種動物“腳的只數(shù)”。這樣一來，也就很清楚了，可以用假設(shè)法，也可以用方程，還可以用列表等方法來解決這個問題。這就是在把握了問題本質(zhì)基礎(chǔ)上，應(yīng)用了類比推理，能夠輕松解答問題。

2. 經(jīng)常性地對學(xué)習(xí)的過程作“反思”。

對于學(xué)生來說，反思是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，同樣也是發(fā)展學(xué)生推理意識的重要方式。因為在反思學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題也好，反思形成的結(jié)論也好，需要學(xué)生去尋找問題產(chǎn)生的原因，或者結(jié)論對錯的理由，一般來說，這個過程需要有因果關(guān)系的說明。于是，有條理、有依據(jù)地表明自己的觀點，顯得非常必要。

比如，“平行四邊形面積”一課的教學(xué)中，當(dāng)課堂上出現(xiàn)了“拉動轉(zhuǎn)化”和“剪拼轉(zhuǎn)化”兩種推導(dǎo)方法，學(xué)生能夠自然地想到對“圖形是如何變的”“這樣變了之后，什么變了？什么沒變”等一連串問題作出說明時，便證明了學(xué)生的推理意識也在不知不覺中得到了強化。當(dāng)然，引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)的過程作經(jīng)常性反思，還表現(xiàn)在平時獨立作業(yè)或階段性檢測的分析中。找原因、究本質(zhì)、析問題、理思路，等等，都應(yīng)該是學(xué)生對學(xué)習(xí)過程作反思的基本內(nèi)容，同樣也是學(xué)生推理意識發(fā)展的重要過程。

推理自覺是學(xué)生推理意識發(fā)展的最高要求，也應(yīng)該是教師在教學(xué)實踐中落實《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對推理意識的重要定位。結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一切內(nèi)容，幫助學(xué)生發(fā)展推理自覺，需要教師抓住一切機會。比如轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、等量代換，等等，在這些方式方法的運用中，幾乎都有推理思維的存在，教師若能密切關(guān)注、切實引導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的推理意識便不至于成為一句空話，而能實實在在地落實。

（作者單位：杭州師范大學(xué)附屬嘉興經(jīng)開實驗小學(xué) 浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）