立足思維習(xí)慣訓(xùn)練 強(qiáng)化幾何直觀培養(yǎng)

陳娣

［摘 ?要］ 文章結(jié)合具體例題，通過重視對(duì)學(xué)生畫圖習(xí)慣的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生數(shù)與形結(jié)合分析和思考問題；學(xué)會(huì)基本圖形的應(yīng)用，讓學(xué)生在訓(xùn)練中感受圖形的魅力；感悟幾何直觀的美妙，以培養(yǎng)學(xué)生的直觀意識(shí)等教學(xué)策略，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力。

［關(guān)鍵詞］ 幾何直觀；畫圖習(xí)慣；習(xí)慣培養(yǎng)；數(shù)形結(jié)合

幾何直觀作為數(shù)學(xué)十大核心概念之一，顧名思義，是由幾何和直觀這兩個(gè)方面融合而成，可以理解為依托圖形進(jìn)行思考和想象。事實(shí)上，不管是概念、性質(zhì)、法則的教學(xué)，還是解題教學(xué)，都可以借助于幾何直觀進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、探索和記憶。既然幾何直觀有如此大的作用，那么該如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面能力的培養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)時(shí)時(shí)強(qiáng)調(diào)幾何直觀的重要性，盡可能多地給予學(xué)生思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在訓(xùn)練中體驗(yàn)圖形的魅力，感悟幾何直觀的美妙，以培育幾何直觀能力［１］。

一、重視對(duì)學(xué)生畫圖習(xí)慣的培養(yǎng)

對(duì)于處于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)第一階段的小學(xué)生來說，抽象思維較為薄弱，而形象思維卻異常發(fā)達(dá)，他們對(duì)圖形的敏感程度往往高于數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言。為了更好地迎合小學(xué)生習(xí)得抽象知識(shí)的“口味”，教師可以通過畫圖這一媒介，讓畫圖來化解抽象知識(shí)與形象思維間的矛盾，讓學(xué)生更輕松理解數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)，教師應(yīng)充分發(fā)揮畫圖的獨(dú)特效能，有意識(shí)地通過畫圖揭示數(shù)量關(guān)系，描述概念、定理等的內(nèi)涵，給足學(xué)生充分體驗(yàn)圖形直觀的過程，以激活學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生畫圖的習(xí)慣，助力其幾何直觀的形成。

例1 ?A、B兩車同時(shí)從南城出發(fā)到北城，A車到達(dá)北城后立刻返回，在距離北城49千米的地方和B車相遇，且A、B兩車的速度之比為5 ∶ 3，問兩車相遇時(shí)A車行駛了多少千米？

分析：本題為一道典型的行程問題，題目中的條件并不多，卻對(duì)數(shù)學(xué)思維提出了較高的要求，使得學(xué)生在解答時(shí)極易思維卡殼。此時(shí)倘若能夠用到畫圖分析的方法，那么則可以化難為易，讓問題的解決水到渠成。

師：有同學(xué)知道這道題的解題思路嗎？（學(xué)生各個(gè)面露難色，顯然本題的難度對(duì)于學(xué)生來說較大）

師（點(diǎn)撥）：在解題時(shí)，如果讀題無法建立數(shù)量關(guān)系，我們可以怎么辦？

生1：畫圖。

師：非常好，那我們就試一試，看畫圖能否給我們提供解題思路。（學(xué)生各個(gè)積極投入畫圖行動(dòng)，很快有了結(jié)果）

生2：我畫出了圖1，根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)，A和B兩車從出發(fā)到相遇一共行駛了兩個(gè)全程，其中A比B多行駛了2個(gè)40千米，所以可以得出路程差是80千米。又根據(jù)速度之比為5 ∶ 3，可見相同時(shí)間內(nèi)的路程比也是5 ∶ 3，進(jìn)一步得出路程差是“1-”。最終列出算式“40×2÷1-=200（千米）”。

正是因?yàn)閳D形的形象性，學(xué)生倍感直觀；正是因?yàn)閳D形隱含條件“路程差”的暴露，學(xué)生很快就能想到解題思路，從而很好地突破了“找尋路程差”這一難點(diǎn)。可以說，正是有了巧妙的作圖與分析，才能讓學(xué)生感受到幾何直觀的神奇，從中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)解題的快樂。

從本例中可以看出，在解題中碰到一些難以理解和較為困惑的題目時(shí)，如果能自然而然地想到畫圖，可以讓隱含于題目文字或式子之中的條件顯性化，使抽象的問題形象化，從而方便形象思維的開展，讓學(xué)生快速找尋到問題的突破口，促成解題路徑的形成。

二、鼓勵(lì)學(xué)生數(shù)與形結(jié)合分析和思考問題

“數(shù)”抽象概括了“形”，“形”直觀表現(xiàn)了“數(shù)”，這就是數(shù)形結(jié)合。在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以鼓勵(lì)學(xué)生數(shù)與形結(jié)合分析來搭個(gè)梯子，讓學(xué)生更加輕松地梳理題意，擴(kuò)展思維，自然而然地在數(shù)形結(jié)合中建立直觀經(jīng)驗(yàn)，從而為發(fā)展幾何直觀開辟一條重要途徑。

例2 ?計(jì)算：+++++…

分析：倘若本題只有前面幾項(xiàng)，學(xué)生可以通過通分在較短時(shí)間內(nèi)完成計(jì)算，但本題是求無數(shù)項(xiàng)的和，難度之大也是可想而知的。當(dāng)然，也有一小部分學(xué)生可以猜出“1”這個(gè)結(jié)論。但是當(dāng)問及“能說一說理由嗎”，學(xué)生依然無法解說。此時(shí)，倘若能數(shù)與形結(jié)合起來分析和思考本題，自然也就峰回路轉(zhuǎn)了。

師：我們一起來猜想一下，若一直加下去，和是多少？（學(xué)生大膽猜想，得出了各種各樣的答案）

師（拾級(jí)而上）：我們一起來看圖2，有何發(fā)現(xiàn)？（PPT呈現(xiàn)圖2）

師：就這樣，不停加下去，空白部分有何變化？

生2：會(huì)越來越少，直至消失。

師：非常好！（繼續(xù)PPT呈現(xiàn)圖3）隨著加數(shù)的增加，陰影部分的面積逐步增大，越發(fā)接近一個(gè)圓的面積，當(dāng)相加的項(xiàng)增加到無數(shù)個(gè)時(shí)，那陰影部分就是一個(gè)圓，結(jié)果自然等于1。

本例中，正是由于加數(shù)個(gè)數(shù)的無限性，使得數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用讓計(jì)算更簡(jiǎn)捷，同時(shí)讓學(xué)生充分明晰了題目的深意，關(guān)鍵是通過數(shù)與形的完美溝通，讓學(xué)生親歷規(guī)律探究和驗(yàn)證的過程，有效地滲透極限思想。如此巧用“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)，完美地與小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相融合，通過鼓勵(lì)學(xué)生猜想，再到以“形”驗(yàn)證猜想，這樣步步深入，問題的本質(zhì)自然銜接，不僅可以保證學(xué)生解決問題的效率，還可以促進(jìn)幾何直觀的形成。

三、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)基本圖形的應(yīng)用

應(yīng)用基本圖形對(duì)于學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)和解題能力的提升作用明顯，但是在實(shí)際教學(xué)中，一些學(xué)生往往會(huì)由于畫圖不夠準(zhǔn)確、討論不夠深刻、理解不夠全面等原因?qū)е鲁鲥e(cuò)。因此，教學(xué)中教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確畫圖，并學(xué)會(huì)應(yīng)用基本圖形，通過圖形去發(fā)現(xiàn)問題、表達(dá)問題、理解問題，助力解題能力的提升，孕育幾何直觀［２］。

例3 ?以“題組”為例

問題1：器材室有20個(gè)排球，足球比排球多，足球有多少個(gè)？

問題2：器材室有20個(gè)足球，足球比排球多，排球有多少個(gè)？

問題3：器材室有20個(gè)排球，足球比排球少，足球有多少個(gè)？

問題4：器材室有20個(gè)足球，足球比排球少，排球有多少個(gè)？

分析：初學(xué)時(shí)，面對(duì)這樣一組易混題型，不少學(xué)生會(huì)覺得十分簡(jiǎn)單。但是在具體解決時(shí)，卻錯(cuò)誤百出。事實(shí)上，倘若能應(yīng)用好圖形來解決各題，則可輕松定位解題思路，快速而正確地解題。基于這樣的認(rèn)識(shí)，本題可以根據(jù)題意依次畫出圖4所示的線段圖。同時(shí)，在讀題的過程中，單位“1”可以準(zhǔn)確而快速地確定，問題1和問題3中的單位“1”已知，即可選擇用乘法計(jì)算，問題2和問題4的單位“1”未知，即可選擇用除法計(jì)算。除此之外，這4題在思路上有一個(gè)相同點(diǎn)，就是比較量都需與單位“1”的量進(jìn)行比較。

就這樣，通過易混題型的組合練習(xí)，學(xué)生對(duì)解法和思路都有一個(gè)準(zhǔn)確的定位，原本難以理解的數(shù)學(xué)問題也變得直觀化和簡(jiǎn)捷化。這一過程實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型的自主建構(gòu)，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生思維的深刻化。

實(shí)踐證明，幾何直觀的培育可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，以促進(jìn)思維能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。因此，在教學(xué)中教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，給予學(xué)生足夠的時(shí)空，重視對(duì)學(xué)生畫圖習(xí)慣的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生數(shù)與形結(jié)合分析和思考問題，并教會(huì)學(xué)生應(yīng)用基本圖形，通過圖形去發(fā)現(xiàn)問題、表達(dá)問題、理解問題，助力解題能力的提升，從而提高幾何直觀思維能力。

參考文獻(xiàn)：

［１］ ?趙生初，許正川，盧秀敏. 圖形變換與中國(guó)初中幾何課程的自然融合［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，２０１２，２１（０４）：９５－９９.

［２］ ?周海東. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力培養(yǎng)探析［Ｊ］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，２０１４（０６）：７０－７２.