運用有效策略 滲透模型思想

文|孫保華

滲透數學模型思想，就是針對抽象的數學概念和命題，引導學生在情境中展開數學抽象活動，利用學生能夠理解的具體實例來說明，通過實例來幫助其理解抽象的數學知識。因此教師要引領學生經歷建模的全過程，從相對簡單到相對復雜、從相對具體到相對抽象，慢慢積累經驗，探索解決問題的基本途徑，促進學生對數學模型的理解，感悟模型思想，體驗模型的價值，提升其應用數學模型的意識和能力。

一、多維感知，充分體驗

數學模型是解決一類問題的基本數量關系結構，其本質是從單個問題的解決抽象到一類實際問題的解決，關注的對象是具有共性的一類事物，因此教師要給學生提供豐富的感性材料，讓其能夠多側面、多維度感知這類對象的特征或數量關系，把握其中蘊含的共同特征、結構，歸納、提煉解決問題的基本模型。

例如，蘇教版四年級下冊《乘法分配律》的教學，可以圍繞“運動會”設置一個情境串。

情境一：學校進行跳繩比賽，四年級有6個班，五年級有4個班，每個班都領取12根跳繩，四、五年級一共要領多少根跳繩？

師：要求一共要領多少根跳繩，可以怎樣列式計算？

生：12×6+12×4=120（根）。

生：12×（6+4）=120（根）。

師：因為這兩個算式的結果都是120，所以我們可以用等號把這兩個算式連接起來組成一個等式。

師：誰能說一說這兩個算式表示的意義？

生：在第一個算式中，12×6表示四年級一共領取的跳繩根數，12×4表示五年級一共領取的跳繩根數，也就是分別算出兩個年級一共領取的跳繩根數，再合起來就表示四、五年級一共領取的跳繩根數。

生：在第二個算式中，6+4表示四、五年級一共的班級數，再乘12，就表示四、五年級一共領取的跳繩根數。

師：這是兩種不同的思路，所以可以列出兩個不同的算式。

教師結合圖示引導學生說說想法。

生：12×6表示6個12，12×4表示4個12，合起來就是10個12，而12×（6+4）就表示10個12，因此這兩個算式的結果是相等的。

師：這位同學是從乘法的意義來理解這兩個算式都表示10個12，所以不計算就知道它們的結果是相等的。

……

很多教師在教學中往往只會出示上述這一素材，學生感知是不夠豐富的，不利于學生對乘法分配律這一模型的正確建構。所以可以再出示下面兩個素材繼續讓學生自主探究。

情境二：四、五年級需要購買一批運動服，上衣每件需85元，褲子每條需55元，購買6套這樣的運動服共需多少元？

情境三：加工這樣的一套運動服需要用多少布料？（如下圖）

生活情境中的不同問題有助于學生比較、分析，揚棄非本質屬性，形成對乘法分配律的深刻認識。在模型的建立過程中可以多層次引導學生進行感知：先讓學生列式計算比較，由結果相等得到等式；接著讓學生進行事理的數學概括，表述自己的解題思路；然后引導學生由事理向算理演變，用乘法的意義進行解釋；最后進行模型的猜想和驗證，引導學生建立正確的數學模型。

二、多元表征，展現過程

在教學中教師要讓學生充分感知素材并結合學生已有的認知和生活經驗，鼓勵自主探究，適時引導學生用顯現的方式表征模型。同時每個學生的認知水平不同，思維方式各異，解決問題的思路不相同，表征模型的方式也不盡相同，而多元表征正是學生個性化解讀與理解的過程。因此教師在教學過程中要讓學生有交流的機會，充分展示其思維過程并多元表征數學模型，這樣不僅有利于豐富學生對知識內涵的理解，也有利于學生加深對模型結構的認識。

例如，蘇教版六年級下冊《解決問題的策略》的教學，解決如下一個實際問題：雞和兔一共有8只，它們的腿有22條，雞和兔各有多少只？

師：現在你們能用自己的方法來解決“雞和兔各有幾只”嗎？

生：我用畫圖的方法。

在表征的過程中，有些學生是把8個圓都看成兔，先畫出了32只腳后，再擦去多算的10只腳；還有些學生是把8個圓都看成雞，先畫出了16只腳后，再添加少算的6只腳。

生：我用列表的方法。

?

生：我用列方程（一元一次）的方法。

解1：設兔有x只。

4x+2（8-x）=22

解2：設雞有x只。

2x+4（8-x）=22

生：我也是用列方程（二元一次）的方法。

（雞的只數）×2+（兔的只數）×4=22

雞的只數+兔的只數=8

生：我用的是算術方法。

假設8只全部是兔。

4×8=32（只）

32-22=10（只）

4-2=2（只）

10÷2=5（只）……雞的只數

8-5=3（只）……兔的只數

生：我用的也是算術方法。

假設8只全部是雞。

2×8=16（只）

22-16=6（只）

4-2=2（只）

6÷2=3（只）……兔的只數

8-3=5（只）……雞的只數

學生在解決“雞和兔各有幾只”的問題時，可以用畫圖來表征，也可以用列表來呈現思考過程，還可以用代數思維（一元一次方程和二元一次方程）或算術思維（假設法）來解決問題。同時每一種方法背后都有兩種思考的順序，可以從假設8只都是雞開始推理，也可以從假設8只都是兔開始推理。總之，教師對素材的合理開發，讓學生進行個性化的多元表征，不僅可以滿足不同層次學生的認知能力和學習需求，還可以讓學生實現模型的自主建構。

三、適度變式，強化結構

學生經歷建模的過程，本質上就是“數學化”的過程，是學生在學習中獲得帶有“模型”意義的數學結構的過程。當學生經歷了建模過程，抽象、概括得到某一數學模型后，教師要將數學模型適度的變式，引導學生比較各種情況之間的聯系，從而使建構的數學模型內涵不斷得到豐厚。同時也有助于學生感悟原型間的聯系，強化模型結構，體會數學結構的魅力。

例如，蘇教版三年級上冊《間隔排列》的教學。

師：把△和○一個隔一個地排成一行，如果△有8個，○最少需要多少個？最多需要多少個？請同學們嘗試去擺一擺，畫一畫。

生：我發現如果兩端物體不同（如下圖），○則需要8個。

△○△○△○△○△○△○△○△○

○△○△○△○△○△○△○△○△

生：我發現如果兩端物體都是△（如下圖），○則需要7個。

△○△○△○△○△○△○△○△

師：如果兩端都是○呢？

生：如果兩端都是○（如下圖），○則需要9個。

○△○△○△○△○△○△○△○△○

師：請同學們仔細觀察，把△和○一個隔一個地排成一行，共出現了幾種情況？

生：一共出現了三種情況。

生：一種是○的個數比△少1，即○有7個。

生：一種是○的個數與△同樣多，即○有8個。

生：一種是○的個數比△多1，即○有9個。

生：我發現○最少需要7個，最多需要9個。

師：一一間隔排列的兩種物體，在什么情況下兩種物體的數量相等，在什么情況下兩種物體的數量相差1？

生：如果兩端物體不同，兩種物體的數量正好相等。

生：如果兩端物體相同，兩種物體的數量相差1。

這樣的教學充分利用各種數學問題串成問題鏈，形成系列化的思維變式資源。引導學生通過操作得出結論，從不同角度加深體驗，以進一步完善對間隔排列的兩種物體間數量關系的認識，進一步認識間隔排列的規律，從而幫助學生強化并豐富了模型結構。

四、有效拓展，推廣應用

模型思想的滲透，要從具體、形象的實例或現實情境開始，通過多次的抽象、概括，幫助學生建立數學模型。同時要引導學生通過思維發散和聯想將模型加以擴展和推廣。因此我們要將一個問題的解決，拓展為解決一類問題，幫助學生運用歸納推理，由特殊到一般，逐步逼近問題的本質，運用該模型解決問題并加以推廣應用。

例如，蘇教版五年級上冊《用字母表示數》的教學，用小棒照樣子擺一行三角形。

?

師：請同學們把表格填寫完整，如有困難就用小棒擺一擺。

師：請同學們仔細觀察表格中的數據，你有什么發現？

生：我發現擺8個三角形需17根小棒，先算增加的7個三角形需2×7=14根，再加上第一個三角形的3根，共17根。

生：我發現擺10個三角形需21根小棒，把每個三角形都看作需要2根小棒就是2×10=20根，再加上第一個三角形的1根小棒，共21根。

生：我還發現擺n個三角形需3+2（n-1）根小棒，每增加一個三角形需2根小棒，多擺n個三角形需增加2（n-1）根小棒，再加上第一個三角形的3根小棒就可以了。

生：我發現擺n個三角形需2n+1根小棒，即每增加一個三角形都需要2根小棒，最后再補開頭三角形的1根小棒就可以了。

師：剛才幾位同學說得都非常好。我們發現可以用3+2（n-1）或2n+1來表示一共需要的小棒根數。

學生解決了擺n個三角形所需小棒的根數，并建立了這一實際問題的數學模型。一般教學不能到此為止，還需進一步推廣。教師順勢又出示一組題讓學生嘗試解決。

連續擺n個正方形，要（ ）根小棒。

連續擺n個五邊形，要（ ）根小棒。

連續擺n個六邊形，要（ ）根小棒。

連續擺n個a邊形，要（ ）根小棒。

學生經歷建模過程后，教師組織學生將此數學模型進一步拓展和遷移，多數學生能夠以此類推，寫出一般的表達式（a-1）n+1，使已經構建的數學模型不斷得到豐富，有助于學生加深對此模型內涵的理解。

總之，在教學中要運用各種有效的策略，讓學生經歷知識的形成過程，成功構建好一個個數學模型，形成結構化的知識，才能讓學生在解決問題的過程中，識別模型、運用模型，理解模型的價值，感受數學的魅力。