深入理解教材 把握方程本質
——《方程的意義》一課教材解讀

文|何海濱

讀懂教材是實現有效教學的前提，在讀懂教材的同時，要深入把握知識的本質，才能準確提煉有助于學生深度學習的核心問題。下面以人教版教材《方程的意義》一課為例，談談如何在解讀教材中把握本質，有效提煉核心問題。

一、溝通聯系，借實物來理解等式

方程是含有未知數的等式，認識等式是認識方程的前提。等式是方程的生長點，教學方程的概念要從等式引入。在學生的日常學習中，經常接觸等式，這時的等式多數是對某個式子運算而得出來，例如為計算“12+20”這一式子得到“12+20=32”這一等式。此時，學生對等式“32”的認知是一個算式的計算結果，式子與結果在學生的認知中更多的是因果關系的存在，對其等式的感知較為薄弱。表示兩個量或兩個表達式相等的式子叫做等式，小學生理解等式的含義、形成等式的概念并不容易。如何從已有的認知入手，讓學生充分感受等式的這一特點，教材采用了天平這一實物，讓學生從具體的情境中來理解抽象的數學算式，體驗等式的含義。

借助天平能夠直觀地表現“相等”和“不相等”兩種現象。天平的兩個托盤相當于等式的左右兩邊，當天平平衡時，就表示兩個托盤的物體質量相等，可以用等號連接兩邊物體的質量，從而形成等式。圖1中借助天平展示左邊有2個50g的砝碼，右邊有1個100g的砝碼，左邊代表的是“50+50”的式子，右邊代表的是一個質量為“100”的量，兩個托盤表示兩種不同的意義，借助天平左右兩邊平衡，幫助學生建立兩者之間的相等關系。圖2則是通過發現空杯和100g的砝碼剛好平衡，利用空杯與天平是方程的形象支撐，得出一只空杯質量為100g，這時學生感受到的是平衡就代表等量，可以借助天平平衡的特點來求解未知的量。

圖1

圖2

二、體驗過程，在變化中感受關系

表示等量關系是形成方程的核心。學生形成關于方程的概念，不僅要知道方程是含有未知數的等式，更要體驗方程能夠表示數量之間的相等關系。認識方程的意義，不能局限于它的外在特點，還要凸顯它是表示相等關系的一種數學形式。教材借助系列圖，通過兩種變化，讓學生去感受數量之間的關系。

圖3中學生向杯中加水，天平失衡。提出問題“如果水重xg，杯子和水共重……”由此引發學生對“一杯水水有多重”這一方程的主要因素——未知量的感知。

圖3

圖4則是分別添加100g砝碼，發現天平左右失衡，得出100+x＞200和100+x＜300兩個不等式。許多教師在這里存在著不解，方程的意義與等量有關，為什么要出現不等式？教材的意圖并非為引入不等式，而是讓學生帶著“一杯水有多重”這一問題，借助兩次調整砝碼的過程，體驗到天平左右兩邊的關系并未形成等量關系，因而等式不能成立，同時在過程中感受水的重量所在的區間，為等量關系的建立埋下伏筆——當呈現砝碼為250g的時候，天平平衡了，學生在體驗中得知“100+x”和250的相等關系，從而引導得出100+x=250。

圖4

教材借助情境圖的變化，通過盤秤的情境，以等量關系蘊含在圖畫中的形式呈現方程的相關內容，讓學生經歷從相等到不等再到相等的過程，感受量與量之間的變化關系。既讓學生探索隱含其中的等量關系，也使學生經歷了用半符號語言表達等量關系、用未知數x來表達等量關系的過程，讓學生在過程中感受方程的形成過程。

三、把握本質，在應用中建立模型

方程的內涵本質是什么？張奠宙教授指出：方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。方程是描述客觀世界中數量關系之間相等關系的數學模型。方程的本質是“關系”，而且是一個等量關系。方程是從現實生活到數學的一個提煉過程，一個用數學符號提煉現實生活中的特定關系的過程。在小學中方程不僅僅是一個概念而已，方程是有用的，是從現實情境到用自然語言等價地表達出來。方程的教學應該經歷“生活中的提煉，到數學表達，到形式化的過程，再到最終解決方程問題”。

當學生借助天平的情境圖理解等式與方程的關系后，教材從生活入手，出現了每本練習本x元，三本練習本一共2.4元的情境（如圖5），這里把每本練習本的單價——“x元”當成一個量存在，但這是一個未知量，需要找到等量關系來列式解決，從而出現3x=2.4這一方程。在解決問題中理解數量關系，建立方程的模型——“像100+x=250；3x=2.4……這樣含有未知數的等式就是方程”。

圖5

四、深化思考，在理解中深刻認識

能順利辨認方程的樣子就是認識方程了嗎？能流利地說出方程的定義就是理解方程了嗎？這顯然是狹隘的理解方程。

史寧中教授曾提到如何理解方程的定義問題，他說：“雖然教科書中定義為‘含有未知量的等式’，但應當知道方程的本質是在講兩個故事，這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數量相等。”也就是說，從定義出發去判斷一個式子是不是方程，意義不大，關鍵是要知道方程是怎么回事，是做什么用的。而學生必須要掌握的是要用數學的符號把要說的話（即兩件事情等價）表達出來。

如何理解史寧中教授的話，我們舉一個例子來說，例如，從甲地到乙地，客車每小時行a千米，m小時到達。貨車每小時行b千米，n小時到達。這里講的是客車行駛和貨車行駛的兩件事，兩件事的共同點是都從甲地到乙地，找到了共同點，就明白了兩車所行的路程相等,也就有了a×m=b×n這一關系，不論速度和時間有什么變化，它們兩者之間的等量關系是一直存在的，在解決問題的過程中，根據這個關系，我們就可以解決生活問題中的未知量。

在小學數學學習中，從算術思維到代數思維的過渡，對學生來說是思維方式上的一次飛躍。學生能否通過學習實現思維方式的轉變，直接關系到學生未來的學習和發展。只有認真解讀教材，基于方程的本質來理解方程的意義，才能促進學生思維的提升。