利用教材題組發展學生數學思維的實踐與反思

文|戴夢竹

題組設計是浙教版《數學》教材的重要特色之一。好的題組能有效幫助學生在學習新知時降低探究難度，在應用概念時避免機械操練，感受自主創造、自覺內化的樂趣，促進數學思維和數學情感的積極發展。

以下嘗試對教材中的題組編寫策略進行一定的整理和反思，以方便一線教師共同讀懂、用好，乃至借鑒創編相應的練習。

一、一題多變設計題組

一題多變是最常見的題組形式，為了凸顯知識的本質，培養學生分析、綜合、抽象、概括的能力，教材設計了大量變式練習調動學生思維。

（一）改變敘述方式，強化抽象與概括。

1.情境變化型。

一些學生在解決問題時，常常被題目的情境所迷惑，不能識別出問題的根本模型。針對學生只會解一道題，而不是一類題的情況，可有意識地以題組形式呈現情境變化的問題。如，在學習工程問題時，我們進一步改編浙教版《數學》五年級下冊第76頁練習數據，構造題組——

（1）一條道路，甲隊單獨修12天能完成，乙隊單獨修18天才能完成，如果兩隊合修，多少天能修完？

（2）甲車從A地開到B地需要12分鐘，乙車從B地開到A地需要18分鐘，兩車同時從兩地相向開出，經過幾分鐘相遇？

（3）一筆錢單獨買衣服可以買12件，單獨買褲子可以買18條，如果一件衣服和一條褲子配成一套，這筆錢最多可以買幾套？

引導學生在具體練習的基礎上，建立不同情境之間的對應，感悟相同的數量結構。

2.表達變化型。

通過不同的敘述方式呈現題目中的某個條件，有利于學生對不同的數學概念、公式、工具進行鏈接。如——

（1）西山苗圃中松樹苗占地2.7公頃，比柏樹苗的占地面積多。柏樹苗占地多少公頃？

（2）西山苗圃中松樹苗占地2.7公頃，柏樹苗的占地面積比松樹苗少。柏樹苗占地多少公頃？

（選自浙教版《數學》六年級上冊第41頁）

學生通過對兩題的關系句進行分析，發現不同的表述方式反映出相同的數量關系，即松樹苗占地面積是9份，柏樹苗占地面積有這樣的8份，數量關系式都可以寫成：松樹苗占地面積×=柏樹苗占地面積。放手讓學生繼續改編題組，學生還會聯想到倍、比等知識，這樣在不知不覺中對知識進行了擴展和串聯。

3.問題變化型。

利用相同信息發展出不同的問題，使一道題目變成一組題目，有助于培養學生思維的靈活性。如，在學習四則運算應用問題時，原教材配有題組——

某食品廠計劃18天生產飲料540箱，實際前4天生產144箱。照這樣計算：

（1）可以提前多少天完成？

（2）18天可以多生產多少箱？

（3）剩下的還要生產多少箱？

（4）剩下的時間還可以生產多少箱？

（5）生產12天后，還剩多少箱沒完成？

（選自浙教版《數學》四年級上冊第79頁）

根據信息，這道題中有兩個歸一量，即“計劃每天生產箱數”和“實際每天生產箱數”，學生需要根據問題，靈活選擇信息，找準歸一量進行解題。這樣的題組練習對學生整體把握和辨析數量關系提出了更高的要求。

（二）增加推理層次，強化分析與綜合。

1.隱藏信息型。

數學學習中，在學生掌握了基本的概念和結構以后，不妨將題目中的一些直接信息變為間接信息，為學生提供“化歸”的學習機會。例如——

（1）有5盒同樣的玻璃球，每盒的個數一樣。如果各取出12個，取出的個數正好是原來2盒玻璃球的個數。原來每盒有多少個玻璃球？

（2）5只桶里的水一樣多，如果從每只桶里倒出6千克水，5只桶里剩下的水相當于原來2只桶里的水。原來每只桶里有多少千克水？

（選自浙教版《數學》四年級上冊第83頁）

第（1）題是第（2）題的基礎，第一題取出個數對應的盒數已知，利用取出個數除以對應盒數就能解題。第二題將倒出質量對應的桶數隱藏起來，學生解題時要先將“剩下的水相當于原來2只桶里的水”轉化成“倒出的水相當于原來3只桶里的水”，增加了推理層次，豐富了化歸的體驗，突出了“對應”的思想。

2.綜合運用型。

在練習過程中，教師如果僅呈現知識點比較單一的問題，學生會依靠思維慣性，不假思索地寫出答案，失去了鍛煉思維的價值。而隨著學習的推進，把同一領域不同方面的知識，不同領域的知識，乃至不同學科的知識，不斷整合、迭代，則可幫助學生不斷升級自己的知識結構和能力水平。如下面這組題——

（1）如圖所示，這個物體的體積是多少立方分米？

（2）一個立方體鋼坯的棱長是0.5m，把它鍛造成橫截面面積是10dm2的長方體鋼材。鍛造成的鋼材有多長？（用方程解答）

（3）一個圓錐形的容器高15cm，底面直徑是8cm，容器裝滿水后，將水倒入底面直徑為16cm、高為15cm的圓柱形容器中。水面距圓柱形容器上端多高？

（選自浙教版《數學》六年級下冊第71、72頁）

這樣的題組，從易到難，既考查了圓柱體積的知識，又考查了立方體體積、圓錐體積、體積單位、方程等知識。在練習過程中，學生需要辨析概念之間的差別和聯系，對空間想象能力的要求不斷攀高，思維得到了鍛煉。

二、利用對比設計題組

為了打破思維定勢，教材通過將順向思維的題目逆向化或將本節課的內容與前面所學內容進行比較等方式設計一批對比題組，使學習效果事半功倍。

1.正逆對比型。

很多所謂的基本問題，都是順著情境發生發展就可以順理成章得到答案的問題。這時，只要把情境事實稍微加以符號化就可以了。而只有當學生對于逆向問題也能夠頭頭是道地展開分析，我們才認為他的頭腦中具備了相應的數學結構，使得他們可以超越具體情境的限制，基于數學關系，進行多向度的推導。

例如，將“相遇問題”中的條件和問題進行輪換，幫助學生從整體上把握速度、時間和路程之間的關系。

（1）貨車和客車分別以60千米/時和80千米/時的速度行駛。它們同時從A、B兩城市出發，相向而行，3小時后相遇。A、B兩城市相距多少千米？

（2）貨車和客車同時從相距420千米的A、B兩城市出發，相向而行，速度分別是60千米/時和80千米/時。幾小時后相遇？

（3）貨車和客車同時從相距420千米的A、B兩城市出發，相向而行，3小時后相遇。貨車的速度是60千米/時，客車的速度是多少？

（選自浙教版《數學》四年級上冊第24頁）

2.相似對比型。

數學學習過程中，還經常會發生將新知識與之前學過的相似知識混淆，用同種思維去解決性質不同的題目的錯誤。將涉及相似知識點的題目組織起來，進行對比分析，可以幫助學生做好基本概念的強化和分化。如，學習正比例和反比例后，提供題組——

（1）濃度一定，水和藥的用量成（ ）比例。

（2）長方體的體積一定，長方體的底面積和（ ）成反比例。

（3）ab=c，當a一定時，b和c成（ ）比例；當c一定時，a和b成（ ）比例。（a、b、c均不等于0）

（選自浙教版《數學》六年級下冊第38頁）

通過對正比例、反比例的辨析，學生容易發現正比例和反比例的區別與聯系，掌握概念的本質。如果進一步讓學生對正比例和反比例進行相互的轉化與改編，學生在應用過程中，還能概括出：凡是成分總關系的一組數量，必定存在著正、反比例的關系。

三、利用開放因素設計題組

數學教學應體現開放性，倡導學生多視角看問題，拓展他們思考和創新的空間。教材在問題的提出和解答方式上挖掘開放因素，給學生留有充分的自由度。

1.開放條件或問題。

學生不但應具備解決問題的能力，更應具備創造性提出問題和改編問題的能力，后者對學生的思維要求更高。設計條件或問題不唯一的題組，讓學生在不斷嘗試中增進思維的發散性和系統性。例如——

先把下列各題的條件補充完整，再計算。

（1）白兔有34只，________。白兔和黑兔一共有多少只？

（2）李師傅修理了34把椅子，____________。張師傅修理了多少把椅子？

（3）書架上原來有25本書，____________。現在有多少本？

（選自浙教版《數學》二年級上冊第53頁）

由于學生思維層次不同，對數量關系的理解水平存在差異，他們編的題目有難有易。實際教學時，通過小組討論和全班交流，大家可以相互借鑒，既生成共同概括，又體驗不同變化，每個人都能在自己原有思維水平的基礎上有所突破。

2.開放解題結果型。

結果不唯一的練習除了要求學生能解題外，還要求學生積極考慮存在的其他可能性，甚至所有的可能性，不斷挖掘學生潛力。如，浙教版在《除數是兩位數的除法》單元中配有如下練習——

（選自浙教版《數學》四年級上冊第29頁）

像這樣的開放設計，學生為探究不同結果，會主動去嘗試大量的計算，而在嘗試的基礎上，逐漸生成反思和歸納，巧妙應用有序思考，理性分析所有可能。從普遍的嘗試——檢驗策略自主過渡到更高思維層次的組合——推理策略，體現了創新思維的發展。

題組練習是創建小學數學整體教學、差異發展的有效途徑。教師在教學中，自覺運用上述策略，不僅能增強數學教學的趣味性，更能為學生建構良好的數學知識結構，發展思維的深刻性與靈活性提供機會。