引進(jìn)表征工具 導(dǎo)向高階思維
——《搭小正方體中的學(xué)問(wèn)》教學(xué)思考與實(shí)踐

文|婁煜鵬

人教版五年級(jí)下冊(cè)第166頁(yè)總復(fù)習(xí)中有這樣一道題——

下面3個(gè)圖形都是由棱長(zhǎng)1cm的小正方體擺成的。

（1）下面的圖形是聰聰從上面看到的。它們分別是從哪個(gè)圖形的上面看到的？將序號(hào)寫(xiě)在括號(hào)中。

（2）①、②、③的體積分別是多少？①的體積是③的體積的幾分之幾？

（3）如果要把①、②、③分別繼續(xù)補(bǔ)搭成一個(gè)大正方體，每個(gè)圖形至少還需要多少個(gè)小正方體？

（4）你還能提出其他數(shù)學(xué)問(wèn)題并解答嗎？

題目以小正方體搭成的圖形為線索，串起了“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)觀察物體、計(jì)算體積和表面積等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生對(duì)此題有畏煩和畏難的情緒。課堂上，如果只由部分優(yōu)秀學(xué)生或者教師來(lái)講述與核對(duì)一遍答案，則不能真正引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和共鳴，失去了練習(xí)的價(jià)值。

通過(guò)與新思維教研人員進(jìn)行交流，筆者了解到兒童的抽象思維尚不成熟，心力資源有限，在他們展開(kāi)推理和想象的過(guò)程中，常常需要借助各種圖像、筆記等具體表征，使自己對(duì)圖形關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的分析看得見(jiàn)、可反思，從而突破難點(diǎn)、升級(jí)問(wèn)題解決的能力。教研員推薦了張?zhí)煨⒗蠋熤骶幍摹缎滤季S兒童數(shù)學(xué)》（5B）第82、83頁(yè)《立方體堆砌》一課以供參考。

在書(shū)中，筆者看到了一種“帶數(shù)字的俯視圖”，激發(fā)了靈感。再教學(xué)時(shí)，嘗試引進(jìn)“帶數(shù)字的俯視圖”作為表征和交流的工具，幫助學(xué)生展開(kāi)該圖形問(wèn)題的分析和解決過(guò)程，著重訓(xùn)練立體與平面的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念；體會(huì)圖形與數(shù)字的溝通，積累情境問(wèn)題數(shù)學(xué)化、數(shù)字化的經(jīng)驗(yàn)。

一、對(duì)比感悟，認(rèn)識(shí)工具

1.新舊比較，了解工具內(nèi)涵。

（1）課件先后出示。

師：同學(xué)們，老師用一些小正方體搭了一個(gè)圖形。這是聰聰畫(huà)的俯視圖（出示如上左圖），這是明明畫(huà)的俯視圖（出示如上右圖）。看到這兩幅俯視圖，你有什么想說(shuō)的嗎？

生：第一幅是平面的，第二幅是立體的。

師：此話怎講？

生：因?yàn)榭吹诙夷苤烂恳粋€(gè)平面位置上有幾塊小正方體。

師：誰(shuí)聽(tīng)懂了？

生：他的意思是，從明明畫(huà)的圖中不僅可以知道一個(gè)面上的正方體是怎么擺的，還知道每個(gè)正方體下面或者上面疊搭了幾個(gè)。

教師引導(dǎo)集體想象根據(jù)如上右圖可能得到的立體圖形，如：

（2）學(xué)生活動(dòng)：嘗試用數(shù)字俯視圖記錄立體圖形。

師：你能像明明這樣，記錄一下這個(gè)圖形的俯視圖像嗎？

學(xué)生自主填寫(xiě)，指名校對(duì)，如：

2.雙向聯(lián)系，鞏固基本技能。

出示：

師：剛才大家都說(shuō)帶數(shù)字的俯視圖能確定立體圖形，那你能從上面三幅帶數(shù)字的俯視圖中找到與它們對(duì)應(yīng)的立體圖形嗎？你是怎么找的？

（在集體交流的基礎(chǔ)上，完成連線。對(duì)個(gè)別有爭(zhēng)議的圖像，實(shí)物搭建，觀察驗(yàn)證）

【設(shè)計(jì)意圖：將教材中通用的、學(xué)生比較熟悉的俯視圖與“帶數(shù)字的俯視圖”同時(shí)呈現(xiàn)，方便學(xué)生比較異同，很快理解新工具的表征方法。另一方面，將帶數(shù)字的俯視圖和立體圖形建立雙向聯(lián)系，在具體應(yīng)用中進(jìn)一步體會(huì)工具承載的圖形信息。課一開(kāi)始，干脆利落地落實(shí)工具，為接下來(lái)學(xué)生自主思考和解決問(wèn)題打下基礎(chǔ)。】

二、多維思考，拓展算法

1.計(jì)算體積，交流方法。

師：這個(gè)圖形是由棱長(zhǎng)1cm的小正方體擺成的，請(qǐng)你用喜歡的方法計(jì)算它的體積。

（學(xué)生獨(dú)立思考、計(jì)算——教師呈現(xiàn)典型作品，組織交流）

生：我是通過(guò)數(shù)個(gè)數(shù)的方式計(jì)算的。第一層有3個(gè)，第二層有7個(gè)，一共有3+7=10（個(gè)）。已知1個(gè)小正方體的體積是1cm3，那么這個(gè)圖形的體積就是10cm3。

師：你的體積概念很清楚，誰(shuí)還有不同的方法？

生：可以畫(huà)一個(gè)“帶數(shù)字的俯視圖”，你們看——

把上面的數(shù)字都加起來(lái)：2×3＋1×4=10。

師：他的意思大家明白嗎？我們來(lái)檢查一下。為什么俯視圖上的數(shù)字相加就可以得出體積？

生：俯視圖中的數(shù)字之和等于小正方體的總數(shù)。

師：你能用自己的語(yǔ)言概括一下求組合圖形體積的方法嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出求圖形體積的不同想法，體會(huì)方法的多樣及各自的特色。初步感受到使用新的記錄方式，可以將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，將幾何求體積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成算術(shù)求總和的問(wèn)題。】

2.補(bǔ)搭圖形，探尋方法。

師：一張俯視圖，使立體圖形變成了平面數(shù)表。如果要將這個(gè)立體圖形繼續(xù)補(bǔ)搭成一個(gè)大正方體，至少還需要多少個(gè)小正方體？你能解決嗎？你會(huì)用什么方法來(lái)幫助自己思考呢？

（學(xué)生獨(dú)立思考、計(jì)算，教師呈現(xiàn)典型作品，組織交流）

生：（指著立體圖）從圖中我可以知道至少拼搭成棱長(zhǎng)是4的正方體。那么這時(shí)一共用到4×4×4=64個(gè)正方體，所以還需要64-10=54個(gè)正方體。

生：我沒(méi)有聽(tīng)得太懂。

生：你們看，現(xiàn)在的圖形我們畫(huà)下來(lái)是——

生：那么要搭成一個(gè)最接近的大正方體就是——

師：大家能看懂這些“帶數(shù)字的俯視圖”嗎？依照俯視圖，你能想象、生成立體圖嗎？

師：你現(xiàn)在能根據(jù)這兩幅“帶數(shù)字的俯視圖”再來(lái)算一算嗎？

生：4×4×4－10＝54（個(gè)）。只要把兩幅帶數(shù)字的俯視圖上的數(shù)字之和相減就行了。

師：謝謝這位同學(xué)，這個(gè)小老師當(dāng)?shù)煤茫〗鉀Q了這個(gè)問(wèn)題，你有什么想說(shuō)的嗎？

生：可以用帶數(shù)字的俯視圖記錄信息，幫助我們解決問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖：以數(shù)字俯視圖為抓手，幫助更多學(xué)生生成正確的、可把握的空間圖像，切實(shí)發(fā)展更多學(xué)生的空間觀念。特別是在研究補(bǔ)搭成大正方體問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生較為深刻地感受到引進(jìn)和借力表征工具的重要性，積累了空間想象的經(jīng)驗(yàn)，感悟到幾何和算術(shù)的關(guān)聯(lián)，發(fā)展幾何直觀與推理能力。】

3.算表面積，總結(jié)公式。

師：計(jì)算體積我們可以這樣多角度地思考，那對(duì)于求表面積的問(wèn)題，大家是不是也會(huì)有新思路呢？

（1）出示：請(qǐng)計(jì)算下圖的表面積（含底面）。

方法一：

生：我發(fā)現(xiàn)圖中相對(duì)的面的面積是一樣的，所以表面積＝（5＋5＋3）×2＝26（cm2）。

師：相對(duì)的面積一樣嗎？我們來(lái)驗(yàn)證一下。

（課件演示該立體圖形分別從上下、左右、前后方向觀察得到的面）

師：這類(lèi)圖形的表面積該如何計(jì)算？

生：表面積＝（上面面積＋正面面積+側(cè)面面積）×2。

師：看來(lái)，這樣的圖形，只要觀察3個(gè)面的面積，就能求它的表面積了。有不一樣的方法嗎？

方法二：

生：我畫(huà)了一個(gè)圖——

師：這幾列都只有1，那就選1；但第二列既有2又有1，為什么選2呢？

生：因?yàn)檫@個(gè)“2”的意思是正面看過(guò)去，這一列可以看到2個(gè)面，2個(gè)面就有2個(gè)面的面積。

師：原來(lái)這里的數(shù)字不是數(shù)字，是帶著圖形的信息的！（呈現(xiàn)立體圖形，集體觀看，確認(rèn)從正面看到的幾個(gè)面）

生：每一列最大的數(shù)代表每一列看到的面數(shù)。

師：請(qǐng)繼續(xù)計(jì)算。

生：繼續(xù)算側(cè)面看到的面積。我從右邊觀察，能看到3個(gè)，分別是第一行最大的2和第二行的1。左邊和右邊一樣。

生：和剛才一樣，也要用最大的數(shù)。

師：誰(shuí)能完整地再來(lái)說(shuō)說(shuō)這位同學(xué)的計(jì)算方法？

生：先算上面，即圖像本身的正方形個(gè)數(shù)：5。再看正面，用每一列最大數(shù)相加：1+2+1+1=5。再看右面，同樣逐列最大數(shù)相加：1+2=3。所以總的表面積是：（5+5+3）×2=26（cm2）。

師：比較這兩種方法，你有什么想說(shuō)的？

生：我覺(jué)得都很方便。

生：我看立體眼暈，看俯視圖計(jì)算適合我。

生：對(duì)俯視圖上的數(shù)字，有時(shí)要想一下對(duì)應(yīng)的立體圖形。不然容易選錯(cuò)。

（2）鞏固練習(xí)。

出示：看圖計(jì)算立體圖形的表面積。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，交流校對(duì)：

【設(shè)計(jì)意圖：面向全體學(xué)生先交流看立體原圖計(jì)算的方法，明確前后、上下、左右面之間的關(guān)系，理解只要知道上、前、右3個(gè)面的面積就能計(jì)算圖形的表面積。再交流“帶數(shù)字的俯視圖”計(jì)算表面積的方法，過(guò)程中教師適時(shí)追問(wèn)“為什么選這個(gè)數(shù)字？”“數(shù)字表示什么意思？”在平面與立體之間，圖形與數(shù)字之間來(lái)回穿梭、對(duì)照，確保算法是空間想象的實(shí)體化、概括化，空間想象是算法的源動(dòng)力。】

三、回顧反思，總結(jié)提升

師：這節(jié)課你有什么收獲嗎？能給這節(jié)課取個(gè)課題嗎？還有什么疑惑嗎？

生：有“帶數(shù)字的俯視圖”，那有沒(méi)有“帶數(shù)字的正視圖”，或者“帶數(shù)字的側(cè)視圖”呢？

生：是不是所有“帶數(shù)字的俯視圖”都能用那個(gè)公式來(lái)計(jì)算表面積呢？

生：“帶數(shù)字的俯視圖”還能解決哪些問(wèn)題呢？

出示下圖：

師：?jiǎn)栴}提得很好！這里有一幅圖，請(qǐng)仔細(xì)觀察，然后同桌嘗試，分別利用立體圖像和俯視圖示計(jì)算它的表面積，看看有什么特別的地方嗎？

同桌合作——集體交流：

師：誰(shuí)能來(lái)解釋一下？

生：有的面凹進(jìn)去了，有的面藏起來(lái)了。

師：誰(shuí)能上來(lái)把他們說(shuō)的“藏起來(lái)的面”指出來(lái)？

師：那你們有什么想補(bǔ)充說(shuō)的嗎？

生：看來(lái)我們剛才總結(jié)出計(jì)算表面積的公式有一定的局限性。

生：對(duì)于有缺口的圖形問(wèn)題，我們還得進(jìn)一步研究。

生：俯視圖上數(shù)字帶的信息怎么才能完全體現(xiàn)立體圖形的信息？

【設(shè)計(jì)意圖：回顧整節(jié)課，聊聊收獲，體現(xiàn)學(xué)生對(duì)本課的實(shí)際理解水平，同時(shí)，突出本課的重點(diǎn)，加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象。最后出示了一幅“有缺”的立體圖形，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，課堂再掀高潮，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和縝密性，也激勵(lì)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和研究興趣，將課堂學(xué)習(xí)延伸到課后。】